Акустика слоистых сред - Бреховских Л.М.
ISBN 5-02-014155-0
Скачать (прямая ссылка):
апертуры мнимого источника - пучка, заданного при z - -г0 и
распространяющегося в сторону положительных г. Второй случай имеет место
в ближией зоне пучка, где еще можно пренебречь его деформацией при
распространении. В работе [93] исследована асимптотика рг, пригодная для
углов падения 0О > (61 - б)/2 и любых 5 и Л, для пучка, который при \q |
< 1 имеет спектр Ф = ?(<?)ехр[- 2 k1 w2 sin2 (0/2 ~ Q\j 2), а при | q | >
1 спектр Ф монотонно спадает к нулю с ростом I q
Пусть S < 1. Стационарная точка q- qs показателя экспоненты в (14.31)
удовлетворяет уравнению
Ч, - "1 =!'S[sin0o - 9,(1 -qlyvlcosflo). (14.34)
Оио имеет решение
qs = qi +iSsin(60 -0,Y2cos0, +0(S2} (14.35)
Запишем уравнение перевального контура у,, проходящего через точку Qs-
1гаФ(9) = 1тФ(4,) = -Scos(6o -0i) + 0(S3), (14.36а)
КеФ(9)>КеФ(9,)"52зт2(е0 - 0,)/4cos20, +0(S4), (14.366)
Если S = 0, то 7! совпадает с вещественной осью q. Если S > 0, | q | -*¦
=*, то 7j асимптотически приближается к прямой q = qi + ib, где, согласно
(14.36а), b = O,5Ssm0o + 0(S2), Для определения точки пересечения q = =
iqt контура yj с мнимой осью q формула (14.36а) дает уравнение 2q^ <?,- +
+ ?cos0o(l +<?,-)1/2 = 1тФ(<?^). Следовательно,
sin(0o - 01 /2) q, = S------------- +0(SJ)
2cos(0,/2)
и тогда имеем Rt^(iqj) " q\, что удовлетворяет неравенству (14.366).
Аналогично отыскиваются точки пересечения контура 7, с вещественной осью
q. При 0 1 -я/2<20О <02 + я/2 существуют две точки пересечения-Яп -
sin(20о - М + °(S) и qr2 ~ cos(0o - 0j)/sin0o + 0(S). Прн других
значениях 0о контур 71 не пересекается с вещественной осью.
Изложенное выше позволяет проанализировать относительное расположение
пути интегрирования yj н разрезов на комплексной плоскости д. Пусть 0 <
0О < 0! • В этом случае b > 0, 1т<^ < 0, контур -ух дважды пересекает
вещественную ось д, причем qr2 > 1. Если 0О > 0 j /2, то значения qn и qi
будут отрицательными (рис. 14.8). При деформации исходного контура
интегрирования к yj разрез, исходящий из точки q - п, не затрагивается.
Разрез, исходящий из точки q = -п, пересекается дважды, если -и < sin(20o
- 0^)), и только один раз, если -и > sin(20o - 0i). (Мы пренебрегаем
здесь поглощением звука и считаем 1тл = 0.) В последнем случае, т.е. прн
20о <01 - 5, контур у, приходится дополнить контуром интегрирования,
охватывающим разрез, и точка ветвления q = -п дает в асимптотику рг вклад
(14.33). Соответствующую боковую волну будем называть обратной, поскольку
в отличие от--1щосковолновых компонент падающего пучка она
распространяется в сторону отрицательных значений х. Если 0 х/2 < 0о <
01, то qt > 0 и qrl > 0. Тогда разрез, связанный
318
Рис. 14.8. Перевальный путь интегрирования 7, в случае S < 1, 0 < в0 <
А,/2. Для наглядности масштаб по оси ординат взят большим, чем по оси
абсцисс. С - разрезы, вызванные точками ветвления q = in, 7 - исходный
контур интегрирования. Положение точек пересечения с вещественной осью
указано с точностью до величин 0(S)
с точкой ветвления q = -л, не затрагивается при деформации контуров
интегрирования. Разрез, исходящий нз точки q = л, прн sin(200 - ^1) т.е.
прн 20о > - 5 будет пересечен лишь один раз, и точка ветвления
даст в асимптотику рг вклад (14.33) - прямую боковую волну.
Аналогично рассматриваются все другие случаи. Оказывается, что прямая
боковая волна наблюдается в области 0О > i?i = ($ i + 6)/2, а обратная -
прн 0о < ~ - 5)/2- Значения ^12 выписаны с точностью до
величин порядка S. Ни в одной точке не могут существовать одновременно
обе боковые волны; в области i^2 < б0 боковых волн нет. Отметим, что в
случае 0, > 5 обратная волна отлична от нуля прн х = 0, т.е. в слоистой
среде имеет место обратное рассеяние звука.
Помимо точек ветвления q-±n, вклад (11.9) в рг, который мы обозначим ps,
дает стационарная точка q = qs. Учитывая формулы (14.36) для Ф(<5^),
получаем
тг"2
Ps=g(.<h)4cti)--(r)ХР [ffctficos(0o -0i) -kw
r2
- -Vsm^flo-e,)] [1 +0(W?1S2)]. (14.37)
4w2
Эта компонента поля pr соответствует отражению пучка по законам
геометрической акустики. Легко видеть, что /?|Sm(0o - 0j) равно
кратчайшему расстоянию от точки (х, г) до оси отраженного пучка х = (z +
zo)tg0i. Волна ps представляет собой пучок с гауссовой огибающей. Анализ
показывает, что прн определенных условиях свой вклад в рг могут давать
также точки ветвления q = ±1. Однако этими вкладами можно пренебречь,
поскольку они экспоненциально малы по сравнению с р, н Р{. Используя
319
формулу (11.74), при S < 1 (как и в рассматриваемом ниже случае S> 1)
нетрудно построить асимптотику рг, описьшающую ответвление боковой волны
от ps при б0 = <01,2 и переходящую прн удалении от границ области
наблюдения в ps при (?2 <6 о <01 и в Ps +Pi ПРИ <02 Н 0О > (?,.
Местоположение границ областей наблюдения прямой и обратной боковой волн
можно легко получить из наглядных физических соображений. Как мы видели в
п. 14.3, на границе области наблюдения пересекаются фронты боковой волны
