Акустика слоистых сред - Бреховских Л.М.
ISBN 5-02-014155-0
Скачать (прямая ссылка):
Исключая L н подставляя tg а из (14.11), получаем ,
Sin(i- so) = Л/fsin ^ - ctg 0osin i//,tg 5(ф,)]. (14.12)
Нетрудно убедиться, что (14.12) равносильно уравнению (12.80),
полученному прн асимптотической оценке интегрального представления поля н
определяющему фх в формуле (12.85) для боковой волны.
Найдем набег фазы на луче SCDP. Согласно (16.20), для этого следует
проинтегрировать скалярное произведение волнового вектора на элемент
длины дуги луча. Длина проекции луча на направление горизонтальной
компоненты волнового вектора равна г cos(^ - >^i) (см. рис. 14.4). Отсюда
для фазового набега имеем
k{z + z0)cos 8(фх) + kr cos (кр - ф} )sin 8(фх), что совпадает с деленным
на i показателем экспоненты в (12.85). Как и в случае неподвижной среды,
лучевые соображения позволяют вычислить н амплитуду боковой волны, но мы
не будем на этом останавливаться.
14.3. Область наблюдения боковой волны [88]. Характерной особенностью
боковой волны является то, что она существует лишь в части пространства,
которая, как правило, не полностью совпадает с областью пространства,
куда попадает компонента поля, отраженная но геометро-акусти-ческим
законам. Совокупность точек, куда приходит боковая волна, будем называть
ее областью наблюдения. Здесь, в п. 14.3 исследуется область наблюдения
боковой волны, создаваемой точечным источником в неподвижной слоистой
среде общего вида прн учете поглощения звука.
>Р
х
Рис. 14.4. Проекция на плоскость ху бокового луча при отражении от
движущейся среды
306
Сначала рассмотрим случай плоской границы однородных полупространств.
Отраженное поле имеет интегральное представление (12.14), для анализа
которого можно применить метод перевала (см. пп.12.2 и 14.1). При этом
задача об области наблюдения боковой волны сводится к вопросу о том, при
каких условиях связанный с неоднозначностью подынтегральной функции
разрез, исходящий из точки q = п, прн деформации исходного пути
интегрирования к перевальному контуру пересекается нечетное число раз.
Рассматриваемый разрез определяется первым из уравнений (12.18), а
перевальный контур у^ - соотношением (12.17), которое удобно записать в
виде
Im f(q)= (14.13а)
Re/(,)< Re f(qs). (14.136)
Функция f{q) определена формулой (12.15). Зададим кривую Г1 соотно-щением
Im A*?) - lmf(qs), Ref(q)>Ref(qs). (14.14)
В совокупности кривые 7i и Fj образуют линию постоянного уровня функции
Im f(q) и делят комплексную плоскость q на пять областей (рис. 14.5).
Величина Im - f(Qs)] отрицательна в областях I -III и положительна в
областях IV и V.
Рис. 14.5. Комплексная q-плоскость, разделенная на пять областей кривыми
Г, и : у - исходный контур интегрированна, у, - путь скорейшего спуска; С
- разрезы, вызванные точками ветвления q = in. Кривая Г, определена
формулами (14.14)
20'
307
Пусть Re an < Re a, Im n > 0. Тогда точка q * n лежит слева от прямой
Reag = Re а. Контур 73, охватывающий часть разреза, уходит на
бесконечность в области V. Поэтому число пересечений разреза и пути
быстрейшего спуска ух будет нечетным, а боковая волна будет наблюдаться,
если точка q = п находится в области I или III. (Взаимное расположение
приемника и источника учитывается через величину qs = sin0o, определяющую
форму кривых ух и Tj). Одиако точка q = п не может принадлежать области
III, поскольку прямая Re aq = Re а расположена в IV, II и V частях ^-
плоскости, и область III целиком лежит справа от этой прямой. Пусть. q -
sin 0. Заметим, что кривая Re 0 = 0О, проходящая через точку q = qs
пересечения Ух и Г", заключена в IV и V частях ^-плоскости. Это следует
из неравенства Im/(q) = lmacos(0 - 0О) ~ ch(lm0) -Rea > lmf(qs). Области
I и II лежат по разные стороны кривой Re 0 = 0о- Следовательно, критерий
наблюдения боковой волны можно сформулировать следующим образом:
Im/(")< Rea, (14.15а)
sin(Re б)< sin0o. (14.156)
При наложенных нами на п ограничениях первое из неравенств выполняется в
I и II частях ^-плоскости, второе - в I и V частях. В совокупности эти
неравенства служат необходимым н достаточным условйем принадлежности
точки q = п области I. Система неравенств (14.15) удовлетворяется, если у
< 0о < я/2, где
sin у - [Re an Re а + Im п I Re ад | у/\ + (Re "/Re д)2 ] X X [(Ren)2
+(Rep)2*-(Ima)2]-1. (14.16)
Здесь ц = (1 - и2)1/2, Rep > 0. При малом поглощении получаем у " Re 6 +
Im 6, т.е. область наблюдения определяется только относительным
показателем преломления. В отсутствие поглощения 7 = 6, что соответствует
изменению L от 0 до 00 в формуле (14.3) для боковой волны.
Аналогично проводится исследование области наблюдения при других
значениях а и "; оно вновь приводит к формуле (14.16). В частности, если
нет поглощения и п > 1, то получаем: sin у = 1/л.
Граница области наблюдения боковой волны с учетом диссипации энергии
только в нижией среде, т.е. при а - 1, определялась в [260, гл. 5, § 3].
Для этого было использовано уравнение, совпадающее с (14.13а). Результат
