Акустика слоистых сред - Бреховских Л.М.
ISBN 5-02-014155-0
Скачать (прямая ссылка):
плоской волны, меняется вдоль фронтов по экспоненциальному закону.
Амплитуда постоянна в плоскостях, ортогональных век гору q^. В силу
первого соотношения (2.3), плоскости постоянной амплитуды и постоянной
фазы неоднородной плоской волны ортогональны, а ее фазовая скорость
(2.2)
qxq2 = 0. q\ ~q\ = k2. Решение уравнения (1.16) р = А ехр[-?2г +Hqlr-
ojt)]
(2.4)
(2.3)
cph = oj/qi = ш(к2 +q22) Ч2 < с
- меньше скорости однородных плоских волн.
25
Неоднородные плоские волны не могут существовать в безграничном
однородном пространстве, так как тогда звуковое давление растет
бесконечно. Однако в ограниченных частях слоистых сред неоднородные
плоские волны встречаются довольно часто.
Предположим, что волновой вектор q лежит в плоскоаи xz. Вводя угол в,
образуемый им с осью г, однородную плоскую волну (2.1) можно представить
в виде
р = А ехр[г(/:2 cos в + кх sin в сот)]. (2.5)
Неоднородная плоская волна (2.4) также представима в виде (2.5), но,
конечно, угол в оказывается комплексным. Например, при в = п/2 - ia, где
о - вещественная величина, из (2.5) получаем
р = A exp (ikx ch а - kz sli а - icot). (2.6)
Эта волна распространяется в направлении х и экспоненциально убывает в
направлении г. Фазовая скорость волны cpj, = c/ch а тем меньше, чем
больше коэффициент затухания волны в направлении оси г.
Рассмотрим, как переносят акустическую энер1ик> однородная и неоднородная
плоские волны. Плотность акустической энергии К и вектор шот-ности потока
акустической мощности / соответственно равны (см. [128, гл. 4: 54, § 44])
Е = /;к +?,. Ек = ри2/ 2, Ех = р2 Ц2рс2), (2.7)
/ = р\. (2.8)
Акустическая энср1ия состоит из двух частей: кинетической энергии
движения частиц в волне Ек и внутренней энер1ии Е\, которую среда
приобретает при деформации.
В монохроматических волнах частоты со энергетические величины колеблются
с двойной частотой. Представляют интерес средние за период значения
плотности акустической энергии Ej и плотности потока мощности // (индекс
Т означает осреднение за период). В формулах
(2.7) и (2.8) подразумеваются вещественные части используемых нами
комплексных величин р и v. Воспользуемся тождеством:
[Re(ae ,ш1) Re(6e ,ыГ>| Г = - |ab|cos(a -0) =- R e(ab*), (2.9)
где звездочка означает комплексное сопряжение, а а и /3 - аргументы
комплексных чисел а и b: a =|a|exp(io), Ъ = |6|ехр(т0). Из формул
(2.7)-(2.9) тогда получаем
Ет = р I v |2 /4 + | р |J/(4 рс2) = (\Vp \2 +k2 \р |2 )/(4рсэ2),
(2.10)
lT = 0.5Re(p*v) - (2cop)',Im(p*Vp). (2.11)
Средняя плотность акустической энергии в неоднородной плоской волне (2.4)
Ет = (lpco2y1q2 \А |2 exp (~2q2r) (2.12)
экспоненциально затухает в направлении q2. Как и в обычной плоской
26
волне, где
Ет = (1рс2у1\А\2,
(2.12а)
средняя плотность акустической энергии не меняется в направлении
распространения волны. Вточках с одинаковым значением амплитуды звукового
давления плотность энергии неоднородной волны выше, чем у однородной, из-
за большего значения амплитуды колебательной скорости. Средние величины
плотности потока мощности в неоднородной и обычной плоских волнах равны:
Неоднородная волна является замедленной, но при одинаковых значениях | р
\ поток мощности в ней больше, чем в однородной волне, из-за большего
значения Ej. Ошетим, что хотя существует мгновенный поток энергии в
направлении q2 (в плоскости равной фазы), среднее значение потока lj
направлено вдоль q,, т.е. ортогонально q2.
В равномерно движущейся однородной среде звуковое давление подчиняется
уравнению, следующему из (1.15):
которое так же, как и уравнение (1.16), имеет решения в виде однородных
(1.34) и неоднородных плоских волн. В неоднородных волнах вещественная и
мнимая части волнового вектора связаны уравнениями
*2[(1 -<7iV0/cj)2 -(<72v0/со)2] = q\ -q\,
,2-2 , ч (2-15)
к2 со q2 v0 {q \ v0 со) = q,q2.
Если q, и q2 ортогональны вектору v0, то наличие течения никак не
сказывается на звуковой волне, и для неоднородных плоских волн остается
справедливым все сказанное выше. При произвольной ориентации волнового
вектора и скорости течения ситуация становится сложнее. Так, при q2\ о Ф
OnfliVo Ф ы плоскости равных фаз и равных амплитуд волны перестают быть
ортогональными.
2.2. Отражение плоской волиы от границы раздела сред. Пусть из
однородной жидкости со скоростью звука с и плотностью р, занимающей
верхнее полупространство z > 0, на границу z = 0 с другой однородной
жидкостью с параметрами с,, р,, занимающей нижнее полупространство z < О,
падаеэ монохроматическая плоская звуковая волна частоты со (рис. 2.1).
Среды считаем неподвижными. Плоскость xz совместим с плоскостью падения,
содержащей в себе (по определению) как нормаль к границе раздела, так и
волновой вектор падающей волны. Обозначим коэффициент отражения волны,
определяемый как отношение комплексных амплитуд отраженной и падающей
волны, через V. Амплитуду падающей волны условно примем за единицу. Тогда
выражение для падающей и отраженной волн запишутся в виде
