Эйнштейновская теория относительности - Борн М.
Скачать (прямая ссылка):
Этот софизм, конечно, связан с тем обстоятельством, что скорости в релятивистской кинематике невозможно просто суммировать, ибо каждая система отсчета имеет собственные единицы длины и времени.
Необходимость учета этого обстоятельства с очевидностью Вытекает из того факта, что в любых двух системах, движущихся одна относительно другой, скорость света предполагается всегда одинаковой, — факта, уже использованного ранее при выводе преобразования Лоренца (гл. VI, § 2, стр. 230). Истинный закон сложения скоростей можно вывести из этого преобразования [формулы (70)]. Рассмотрим движущееся тело в системе S'. Его движение может происходить в плоскости х', у', и, таким образом, его скорость будет иметь две компоненты их, и Uy,, и движение может начаться в момент времени t' — 0 из начала координат. Мировая линия тела задается тогда уравнениями
U=V + и'.
Xf = U1Ct', у' = Uyd'.
(а)
(б) § 6. Сложение скоростей
259
Можно предвидеть, что движение окажется прямолинейным и в системе S, причем скорость будет иметь две постоянные компоненты их, Uy. Мировая линия движущегося тела в системе S будет задаваться уравнениями
X = uxt, (в)
у = uyt. (г)
Для того чтобы получить соотношение между скоростями тела в системах S и S', введем выражения для х, у, t в уравнения (а) и (б) с помощью формул преобразования Лоренца (70а). Вместо первого уравнения (а) мы получаем
(х - vt) = иХ' (/ - -L- *) или (l +?-) л; = ("*' + о) Л
(77а)
Сравнивая этот результат с уравнением (в), получаем
uXr + v
1+-
U
Х'"
C4
Аналогичным образом из (б) имеем
Uy =
а с помощью (77а)
vj1"?"«)
Ug = Uy--. (776)
1+- *
с
Уравнения (77а) и (776) выражают эйнштейновскую георему сложения скоростей. Они занимают место простых формул обычной кинематики:
Ux = Ux' + V, Uy = Uy>.
Выражая их, через их и иу, через иу, мы получаем формулы точно такой же структуры; единственная разница состоит в том, что V заменяется на —v. Это следует из эквивалентности всех систем отсчета и может быть проверено прямыми выкладками.
Если, в частности, мы имеем дело с лучом света, распространяющимся В направлении движения системы S' относительно системы S, то иХ'~ с, Uy' = 0. Тогда формулы (77) дают, естественно, ожидаемый результат:
v + c „
=-Г = с> uI>= °>
+ с 260 Г л. VI. Эйнштейновский специальный принцип относительности
который и выражает теорему о постоянстве скорости света. Более того, мы видим, что для любого тела, движущегося вдоль нространственной оси, их<с до тех пор, пока ux><chv<c. В самом деле, деля формулу (77а) на с, мы можем преобразовать результат к виду
Из этой формулы прямо следует наше утверждение, так как при указанных выше условиях второй член справа всегда меньше 1 (знаменатель больше 1, а каждый множитель в числителе меньше 1). Аналогичный вывод справедлив, конечно, и для движений, происходящих поперек пространственной оси, и для движений в любом направлении.
Итак, скорость света кинематически есть предельная скорость, которую невозможно превысить. Этот постулат теории Эйнштейна встретил упорную оппозицию. Он казался неоправданным ограничением .планов исследователей, которые ждали в будущем открытий скоростей, превышающих скорость света.
Мы знаем, что ?-лучи радиоактивных веществ представляют собой электроны, движущиеся со скоростями, близкими к скорости света. Почему же невозможно ускорить их так, чтобы они двигались со скоростями больше скорости света?
Теория Эйнштейна, однако, утверждает, что это невозможно в принципе, поскольку -инерциальное сопротивление, или масса тела, возрастает по мере того, как его скорость приближается к скорости света. Таким образом, мы приходим к новой динамике, базирующейся на кинематике Эйнштейна.
Механика Галилея и Ньютона неразрывно связана со старой кинематикой. В частности, сам классический принцип относительности базируется на том факте, что изменение скорости— ускорение — инвариантно относительно преобразования Галилея.
Но не можем же мы пользоваться одной кинематикой для одной группы физических явлений, а другой — для другой группы, требуя инвариантности относительно преобразования Галилея для механики и инвариантности относительно преобразования Лоренца для электродинамики.
Мы знаем, однако, что первое преобразование представляет собой предельный случай второго, именно случай, в котором
§ 7. ЭЙНШТЕЙНОВСКАЯ ДИНАМИКА § 7. Эйнштейновская динамика
261
постоянная с бесконечно велика. Соответственно, следуя Эйнштейну, мы будем предполагать, что классическая механика не строго справедлива, но, вернее, требует некоторой модификации. Законы новой механики должны оказаться инвариантными относительно преобразований Лоренца.
Чтобы установить эти законы, мы должны выяснить, какие фундаментальные законы классической механики следует сохранить, а какие отбросить или модифицировать. Фундаментальный закон динамики, с которого мы начинали, — закон импульсов, выражаемый формулой (7) (гл. II, § 9, стр. 41):
р - mw.
Очевидно, этот закон нельзя просто оставить в той же форме. В самом деле, в классической механике изменение скорости w имеет одно и то же значение во всех инерциальных системах (см. гл. III, § 5, стр. 72), что в нашем случае неверно вследствие эйнштейновской теоремы сложения скоростей (77). Итак, формула (7) не имеет смысла до тех пор, пока не указаны конкретные правила преобразования импульса при переходе от одной системы отсчета к другой; поэтому едва ли было бы рационально начинать с формулы (7) и выводить новый фундаментальный закон путем обобщения ее.
