Эйнштейновская теория относительности - Борн М.
Скачать (прямая ссылка):
Огромное число физических и технических приложений электричества и магнетизма базируется на законе индукции. Трансформатор, индукционная катушка, динамо-машина и другие бесчисленные приборы и машины дают примеры использования электрических токов, индуцированных с помощью изменяющихся магнитных полей. Но как бы ни были интересны все эти вещи, они лежат несколько в стороне от основного направления наших размышлений, конечная цель которых состоит в анализе взаимосвязей между эфиром и проблемой пространства. Поэтому мы перенесем свое внимание сразу на теорию Максвелла, цель которой состояла в том, чтобы объединить все известные электромагнитные явления в единую теорию близкодействия.
§ 8. МАКСВЕЛЛОВСКАЯ ТЕОРИЯ БЛИЗКОДЕЙСТВИЯ
Мы уже знаем, что вскоре после того, как был установлен закон Кулона, электростатика и магнитостатика были сформулированы в форме теории псевдоблизкодействия. Максвелл взялся за задачу слить эту теорию воедино с идеями Фарадея, разработав ее так, чтобы она включала и вновь открытые
ческого поля Е, наведенного магнитным ¦/оком I (ср. с фиг. 84). 176
Г л. V. Фундаментальные законы электродинамики
явления диэлектрической и магнитной поляризации, электромагнетизма и магнитной индукции.
В качестве исходного пункта своей теории Максвелл взял уже упоминавшуюся выше идею о том, что электрическое поле E всегда сопровождается электрическим смещением D = еЕ не только в веществе, где є отличается от 1, но и в эфире, для которого 8=1. Мы рассказали, как можно представить себе смещение в виде разделения и перетекания электрических жидкостей в молекулах. Установили мы и дифференциальный закон, связывающий плотность заряда р в каждой точке пространства с дивиргенцией D, равной еЕ:
Точно те же соображения применимы к магнетизму с одним важным отличием: согласно Амперу, не существует реальных магнитов и магнитных величин, существуют лишь электромагниты. Магнитное поле всегда должно вызываться электрическими токами, будь это токи проводимости в проволоках или молекулярные токи в молекулах. Отсюда следует, что магнитные силовые линии нигде не оканчиваются, т. е. они либо замкнуты, либо уходят в бесконечность. Это так в случае электромагнита — катушки, через которую протекает ток (фиг. 9 7, а, б): магнитные силовые линии внутри катушки прямые, а снаружи они частично замкнуты, а частично уходят в пространство, в бесконечность. Если рассмотреть виток катушки, лежащий между двумя плоскостями А и В, то можно видеть, что точно столько «магнитного смещения» р.Н входит через плоскость А, сколько выходит через плоскость В. Поэтому мы должны записать
Это и есть максвелловская формула близкодействия для магнетизма. Заметим, что вместо понятия «смещение» используется выражение магнитная индукция.
Перейдем теперь к электромагнитному закону Био и Савара. Для того чтобы превратить его в закон близкодействия, предположим, что электрический ток протекает не в тонкой проволоке, а равномерно распределен с плотностью / = /// по круговому поперечному сечению /. Выясним вопрос, как велика напряженность магнитного поля H на границе поперечного сечения. По закону Био и Савара, это магнитное поле лежит в направлении, перпендикулярном плоскости окружности, и, согласно формуле (54), имеет величину H = Jl/cr2, где л —радиус окружности, а / — длина элемента тока. Но площадь поперечного сечения В нашем случае —круг и равна f = яг2; следовательно, формулу
div еЕ = 4лр.
(58')
div цН = 0.
(59) § 8 Максвелловская теория блцзкодгйствич
177
(54) можно записать как
= __]__ .
Ut ~ пг2 — f ~~ I'
причем это справедливо для любого как угодно малого поперечного сечения и любой как угодно малой длины. Итак, слева мы
а
Ф и г. 97. Магнитное поле катушки (соленоида).
о— силовые лииии в катушке становятся видимыми при помощи железных опилок, б — ток J, текущий сквозь катушку.
имеем определенную дифференциальную величину, характеризующую магнитное поле, а записанный нами закон утверждает, что эта величина пропорциональна плотности тока. Здесь мы не сможем провести математический анализ того, как образуется эта дифференциальная величина. Она должна учитывать не только напряженность, но и направление магнитного поля, 178
Г л. V. Фундаментальные законы электродинамики
поэтому она обвивается или «завихряется» вокруг направления тока, т. е. зависит от дифференциальной операции, называемой «вихрем», или «ротором», поля Я (записывается как rot Я). Соответственно мы можем записать символически
с rot Я = 4л/, (60)
опять-таки рассматривая эту формулу лишь как мнемоническую запись соотношения между напряженностью и направлением магнитного поля Я, с одной стороны, и плотностью тока } — с другой. Для математика, однако, эта формула представляет собой дифференциальное уравнение того же вида, что и закон (58).
Далее, точно такая же формула справедлива и для магнитной индукции, но здесь мы поставим справа противоположный знак, чтобы отметить противоположное направление «вихря»:
с rot ? = — 4ш\ (61)
