Эйнштейновская теория относительности - Борн М.
Скачать (прямая ссылка):
45
станавливающая сила достигнет максимальной величины. В то же самое время ускорение в обратном к движению направлении достигнет максимальной величины. Начиная с этого момента и далее процесс будет повторяться в обратном направлении.
Заменив теперь этот шар другим, с другой массой, мы увидим, что характер движения остался тем же самым, но период колебаний изменился. Когда масса больше, движение оказывается более медленным, а ускорение уменьшается; уменьшение массы приводит к увеличению числа колебаний в секунду.
Во многих случаях восстанавливающую силу К можно считать точно пропорциональной отклонению X. Тогда процесс движения можно представить геометрически следующим образом:
Рассмотрим точку Р, движущуюся равномерно вдоль окружности радиуса а; пусть она делает полный оборот за время Т. Число оборотов в секунду тогда равно v = 1/Т. Точка P движется вдоль окружности, длина которой равна 2па (где л = 3,14 ...), со скоростью 2ла/Г = 2nav. Если точка P проходит малое расстояние s по кругу за время т, мы находим, что скорость равна s/t = 2jiav.
Примем теперь центр окружности О за начало прямоугольной системы координат, в которой точка P имеет координаты X, у. Тогда проекция А точки P на ось х будет двигаться вперед и назад при движении точки P точно так же, как масса, прикрепленная к пружине. Эта точка А может представлять колеблющуюся массу. Когда P сдвигается вперед на малое расстояние s, точка А смещается вдоль оси х на малое расстояние I и скорость точки А становится равной v = ?/т. Из фиг. 23 видно, что смещения I и S представляют собой катет и гипотенузу малого прямоугольного треугольника, подобного большому прямоугольному треугольнику ОАР, так как соответствующие катеты этих треугольников перпендикулярны друг другу. Отсюда мы получаем пропорцию
1 _ У * .... sy
Фиг. 23. Представление движения пружинного маятника, изображенного на фиг. 22.
А — проекция на ось X точки Р, движущейся по окружности с постоянной скоростью. 46
Г л. II. Фундаментальные законы классической механики
Следовательно, скорость точки А можно записать как
o = t = 4x- = 2jiv//. тта s
Далее, проекция В точки P выполняет точно такие же колебания типа маятника вдоль оси у. При малом смещении s
точки P точка В движется назад на расстояние TJ, и так же, как для g, мы получаем
Г] X X
T=-T' Или 1I=-SX-.
Это изменение Tj координаты у соответствует изменению скорости v=.2nvy точки А, которое дается равенством
W = 2nvtj - — 2nvs —.
Знак «минус» при w означает, что скорость уменьшается. Ускорение равно
b = ^r=- 2nv X - = - (2nv)2*
х ха'
и тоже имеет отрицательный знак.
Итак, ускорение при таком колебательном движении точки А, по сути дела, в каждый момент времени пропорционально отклонению X. Для силы получаем
К = mb = - m (2jxv)2 х. (и)
Отрицательный знак при К означает, что сила во всех положениях стремится вернуть шар в положение равновесия х = 0.
Таким образом, измеряя силу, соответствующую отклонению X, и подсчитывая число колебаний в секунду, мы можем определить массу m пружинного маятника.
Изображением мировой линии такого колебательного движения, очевидно, будет волнообразная кривая в плоскости xt, где X — направление колебаний (фиг. 24). При построении фиг. 24 предполагалось, что в момент времени / = 0 шар проходит через среднее положение х = 0 при движении вправо. Можно видеть, что каждый раз, когда мировая линия шара пересекает ось t, т. е. при х = 0, кривая наиболее сильно наклонена к оси х; это означает, что в таких точках скорость максимальна. Следовательно, траектория в этих точках не искривлена и измене-
Фиг. 24. Колебание пружинного маятника на Xt-диаграмме. T — период колебания. § 12. Вес и масса
47
ние скорости, а значит и ускорение равно нулю. Для точек, которые соответствуют максимальному отклонению, верно противоположное.
§ 12. ВЕС И МАССА
В начале этой главы, вводя понятие массы, мы заметили, что масса и вес обнаруживают замечательный параллелизм. Тяжелые тела оказывают более сильное противодействие ускоряющей силе, чем легкие. Строгий ли это закон? По сути дела — да. Чтобы разобраться в этих обстоятельствах, рассмотрим снова опыты по приведению в движение шаров на гладком горизонтальном столе при помощи ударов или импульсов силы. Возьмем два шара А и В, причем В вдвое тяжелее А, т. е. на весах В уравновешивает два тела, точно совпадающие с А. Далее, пусть шары А и В испытывают совершенно одинаковые удары; будем наблюдать, какую скорость они приобретут. Мы обнаружим, что А катится вдвое быстрее, чем В.
Итак, шар В, вдвое более тяжелый, чем шар А, оказывает сопротивление изменению скорости, вдвое более сильное, чем А. Это можно сформулировать и по-другому: тела, имеющие вдвое большую массу, имеют вдвое больший вес, или, выражаясь более общим образом, массы находятся в некотором постоянном отношении к весам G. Отношение веса к массе — определенная величина. Ее обозначают через g, и мы можем записать
Q
— = g, ИЛИ G = mg. (12)
