Эйнштейновская теория относительности - Борн М.
Скачать (прямая ссылка):
S2 = ?иі2 + gW + Sssl2 + gut2 +
+ ^gi2In + 2g13?? + 2glilx + 2g23ri? + 2g24r,T + (98)
Эту формулу можно назвать обобщенной теоремой Пифагора в четырехмерном мире.
Метрические коэффициенты gil, gs4 будут иметь различные значения от ячейки к ячейке координатной сетки; это означает, что они зависят от координат и от момента времени х, у, z, t, определяющих точку О. Более того, они будут иметь другие значения и при другом выборе гауссовых координат, причем новые значения будут связаны со старыми посредством определенных формул преобразования.
§ 8. ФУНДАМЕНТАЛЬНЫЕ ЗАКОНЫ НОВОЙ МЕХАНИКИ
Согласно общему принципу относительности, законы природы описываются выражениями, инвариантными относительно произвольных преобразований гауссовых координат точно так же, как геометрические свойства поверхности инвариантны от- § 8. Фундаментальные законы новой механики
329
носительно произвольных преобразований криволинейных координат. Каркасом теории поверхностей служили геодезические линии. Совершенно аналогично в четырехмерном мире строятся геодезические линии (т. е. линии, вдоль которых расстояние между двумя мировыми точками оказывается наикратчайшим); в этом процессе расстояние между двумя соседними точками определяется инвариантом s.
Но что представляют собой геодезические линии? В тех областях, которые свободны от гравитационных полей, и при подходящем выборе системы отсчета они, очевидно, являются прямыми линиями относительно этой системы. Но мировые линии бывают либо пространственно-подобными (s2 > 0), либо временно-подобными (s2<0), либо световыми линиями (s = 0). Если ввести другую систему гауссовых координат, те же самые мировые линии окажутся искривленными, оставаясь при этом, разумеется, геодезическими.
Отсюда следует, что геодезические линии должны точно соответствовать тем физическим явлениям, которые в обычной геометрии и механике представляются прямыми линиями, именно лучам света и движениям под действием инерции. Таким образом, мы нашли искомую формулировку обобщенного закона инерции, в котором явления инерции и гравитации объединяются в одном выражении.
Если метрические коэффициенты gii, ..., g34 относительно произвольной гауссовой системы координат известны для каждой точки сетки, то геодезические линии можно получить просто с помощью вычислений. А если относительно рассматриваемой системы координат в некоторой области отсутствует гравитационное поле, то
#11 = #22 = #33 = 1, #44= -С2,
#12 = #13 = #14 = #23 = #24 = #34 =
так как в этом случае общее выражение для расстояния (98) должно сводиться К S2=^ + n2 + ?2 — с2т2. Отклонение величин g от значений (99) определяет, следовательно, то состояние, которое в обычной механике мы называем гравитационным полем; когда такие отклонения имеют место, инерциальные движения становятся неравномерными и непрямолинейными — механика Ньютона считала причиной этого ньютонову силу тяготения. Десять величин g, таким образом, осуществляют двойную функцию: 1) они определяют метрику, единицы длины и времени; 2) они представляют гравитационное поле обычной механики. Метрическое поле и гравитационное поле — различные аспекты одной и той же сути; оба представляются десятью величинами g. 330
Г л. VII. Общая теория относительности Эйнштейна
Итак, теория Эйнштейна представляет собой воссоединение геометрии и ифизичи, синтез законов Пифагора и Ньютона. Она достигла этого путем критического разбора понятий пространства и времени в сопоставлении со старым и надежно установленным экспериментами выводом о том, что гравитационное ускорение не зависит от массы движущегося тела.
Но новая формулировка закона инерции — это лишь первый шаг теории. Мы усмотрели в величинах g средство, позволяющее математически описать геометро-механическое состояние мира относительно произвольной системы гауссовых координат. Это проливает свет на основную проблему теории. Она заключается в следующем.
Необходимо установить законы, согласно которым метрическое поле (величины g) может быть определено в любой точке пространственно-временного континуума относительно произвольной системы гауссовых координат.
Об этих законах нам известно пока следующее:
1. Они должны быть инвариантны относительно произвольных изменений гауссовых координат.
2. Они должны полностью определяться распределением материальных тел.
К этому следует добавить формальное условие, перешедшее к Эйнштейну из обычной ньютоновой теории гравитации. Когда мы представляем ньютонову механику в форме теории близкодействия с помощью дифференциальных уравнений, они подобно всем законам поля в физике оказываются уравнениями второго порядка. Отсюда напрашивается постулат, что новые законы гравитации, представляющие собой дифференциальные уравнения относительно величин g, также должны быть не выше второго порядка.
Из этих постулатов Эйнштейн успешно вывел уравнения для метрики, или для гравитационного поля. Гильберт, Клейн, Вейль, Эддингтон и другие математики объединили свои усилия в тщательном исследовании и освещении формальной структуры эйнштейновских формул. Мы не можем привести здесь эти законы и выводы, на которых они основываются, ибо это невозможно без применения высшей математики. Удовлетворимся лишь некоторыми указаниями.
