Эйнштейновская теория относительности - Борн М.
Скачать (прямая ссылка):
Г л. VII. Общая теория относительности Эйнштейна
Такого рода преобразования гауссовых координат пространственно-временного континуума состоят в переходе от одной системы отсчета к другой, которая также произвольно деформирована и находится в движении. Постулат о том, что мы пользуемся лишь действительно доказуемыми законами природы, имеет следствием, что эти законы инвариантны относительно произвольных преобразований гауссовых координат от х,у, z, t к x',y',z',f. Этот постулат, очевидно, содержит в себе общий принцип относительности, ибо в число преобразований х, у, z, t входят и все те, которые определяют переход от одной системы отсчета к другой, движущейся произвольно.-Формально, однако, он шире принципа относительности, поскольку включает также произвольные деформации пространственных и временных единиц отсчета.
На этом пути мы достигаем надежного обоснования общего подхода к пространственно-временному континууму с релятивистских позиций. Следующим шагом должно быть установление взаимосвязи этого математического метода со сделанными ранее физическими заключениями, кульминационным моментом которых было установление принципа эквивалентности.
Мы теперь находимся в том же положении по отношению к четырехмерному миру, в котором был землемер в лесу после того, как разметил свою координатную сетку, но еще не начал обмерять ее с помощью измерительной рулетки. Наша задача — выбрать четырехмерную измерительную рулетку.
Такой выбор предоставляет нам принцип эквивалентности. Мы уже знаем, что с помощью соответствующего выбора системы отсчета можно с уверенностью обеспечить отсутствие гравитационного поля в любой достаточно малой области мира. Существует бесконечное число таких систем отсчета. Они движутся прямолинейно и равномерно относительно друг друга, и в них справедливы законы специальной теории относительности. Поведение линеек и часов определяется преобразованиями Лоренца; прямые мировые линии олицетворяются световыми лучами и траекториями инерциального движения (см. стр. 230 и 233). В пределах этой малой области мира величина
F = s2 = I2+ yf+ I2-c2x2
— инвариант, имеющий прямой физический смысл. Действительно, если линия, соединяющая начало О (оно, как предполагается, находится внутри малой области) с мировой точкой P (?, т], т), есть пространственно-подобная мировая линия, то s представляет собой расстояние OP в той системе отсчета, в которой точки О и P одновременны. Но если мировая линия OP временно-подобная, то $ == іст, где % — интервал времени, про- § 7. Метрика пространственно-временного континуума
327
шедший между событиями О и P в той системе координат, в которой эти события произошли в одной и той же точке пространства. Раньше мы назвали s четырехмерным расстоянием (гл. VI, § 10, стр. 299). Оно доступно прямому измерению с помощью измерительных линеек и часов, и, таким образом, если ввести мнимую координату <р = icx, это расстояние формально
х-3 х-4
носит тот же характер, что и евклидово расстояние в четырехмерном пространстве:
S = Vf = vTT?TF+?~.
Тот факт, что специальная теория относительности применима в малых областях пространства-времени, точно соответствует факту применимости евклидовой геометрии в достаточно малых областях искривленной поверхности. Но ни теоремы евклидовой геометрии, ни законы специальной теории относительности не обязаны выполняться в больших областях. Здесь не обязаны существовать прямые линии вообще, но лишь самые прямые или геодезические линии.
Дальнейшее рассмотрение четырехмерного мира идет параллельно теории поверхностей. Сначала следует обмерить ячейки любой сетки гауссовых координат- с помощью четырехмерного расстояния s. Мы изобразили этот процесс в двумерной ^-плоскости (фиг. 142). Пусть ячейка координатной сетки ограничена линиями х = 3, x = 4 и t = 7, f = 8 (ср. с фиг. 137, стр. 314). Лучи света, распространяющиеся из узла х = 3, / = 7, соответствуют двум пересекающимся мировым линиям, которые в пре- 328
Г л. VII. Общая теория относительности Эйнштейна
делах малой области можно представить как прямые. Гиперболические калибровочные кривые F = ± 1 заключены между этими световыми линиями. Они соответствуют окружности, которая в обычной геометрии проходит через все точки, удаленные от начала на одно и то же расстояние, равное 1.
Использование формулы (97) из теории поверхностей приводит к выражению
S2 = gill2 + 2gI2i<p + ?22ф2
для инварианта s, где ? и <р == icx— гауссовы координаты произвольной точки Р, лежащей внутри рассматриваемой ячейки. Подставляя сюда ф = icx, мы находим
S2 = ё\\12 + ^icgl2Ix - C2g22X2,
или, если изменить обозначения (записывая вместо icgl2 и g22 вместо — C2g22) :
S2 = gill2 + ^gl2Ix + g22x2.
Величины gn, gi2, g22 называются метрическими коэффициентами и имеют прямую физическую интерпретацию. Так, например, при т = 0 S=V^hIj т. е. Y^i определяет истинную длину пространственного ребра ячейки в той системе отсчета, в которой ячейка покоится.
В четырехмерном мире инвариантное расстояние s между двумя соседними точками, относительные гауссовы координаты которых есть І, г], ?, X, определяется выражением вида
