Эйнштейновская теория относительности - Борн М.
Скачать (прямая ссылка):
Вместо трех чисел для каждой ячейки (две стороны и угол) общепринято пользоваться другим методом определения мер, преимущество которого состоит в том, что он более симметричен.
Рассмотрим одну из ячеек — параллелограмм, стороны которого соответствуют двум следующим друг за другом номерам (скажем, х = 3, х = 4 и у = = 7, у = 8; см. фиг. 137). Пусть P — некоторая точка внутри этой ячейки, a S — ее расстояние от точки О, лежащей в вершине угла, образованного координатными линиями с меньшими номерами. Это расстояние определяется с помощью измерительной рулетки. Мы проводим через точку P параллели к двум координатным линиям: эти параллели пересекают координатные линии в точках А и В. Далее, пусть С — основание перпендикуляра, опущенного из точки P на координату X.
Точкам А и В при этом также соответствуют числа, или гауссовы координаты в рамках нашей координатной сетки. Точку А можно определить, скажем, измерив сторону параллелограмма, на которой лежит точка А, расстояние АО и взяв отношение этих двух длин в качестве приращения координаты X, соответствующего смещению от О до А. Само это приращение мы будем обозначать через выбрав О за начало гауссовых координат. Аналогичным образом определим гауссову координату f] точки В как отношение, в котором В делит соответствующую сторону параллелограмма. Тогда, очевидно, I и г] представляют собой гауссовы координаты точки P относительно О. Если X и у — номера ячейки, соответствующей угловой точке О, или ее гауссовы координаты относительно произ-
у-7
х=3
*=4
Фиг. 137. Обобщенная теорема Пифагора. 314
Г л. VII. Общая теория относительности Эйнштейна
вольно заданного начала, то | и ті представляют собой малые приращения X и у. _
Истинное расстояние OA равно, конечно, не а, скажем, а\, где а — определенная величина, которую нужно найти посредством измерения. Точно так же истинная длина OB равна не г), а некоторому Ьц. Если передвигать точку Р, то ее гауссовы координаты будут меняться; числа же а и Ь, определяющие отношения гауссовых координат к истинным длинам, остаются неизменными.
Найдем теперь выражение для расстояния OP = S из прямоугольного треугольника OPC с помощью теоремы Пифагора.
Имеем _ _ _
S2 = OP2=OC2 + CP2
Но ОС = OA + AC, значит
S2 = OA2 + 2OA ¦ AC + AC2 + CP2.
С другой стороны, в прямоугольном треугольнике APC
AP2 = AC2 + CP2.
Следовательно, _ _ _ _
S2 = OA2+ 20 А ¦ AC + AP2.
Здесь OA = а|, AP = OB = Ьц. Далее, AC представляет собой проекцию отрезка AP = Ьц на сторону ячейки, и, следовательно, находится в определенном отношении к нему, скажем AC = сц. Итак, получаем
S2 = а%2 + 2ас1ц + Ь2ц2.
Здесь а, Ь, с — фиксированные дробные числа. Общепринято обозначать три множителя этого уравнения несколько иным способом, именно
s2 = ?nl2 + 2?!2|Tl + g22Tf- (97)
Эту формулу можно назвать обобщенной теоремой Пифагора в гауссовых координатах.
Три величины gii, gi2, ^f22 могут служить так же, как две стороны и угол для определения расстояний и положений точек в пределах параллелограмма. Поэтому мы называем их метрическими коэффициентами и используем выражение метрика поверхности для величины S2, определяемой формулой (97). Значения метрических коэффициентов изменяются от ячейки к ячейке, что следует либо отметить на карте, либо дать в форме математической функции от х, у — гауссовых координат точки О. Если они известны для каждой ячейки, то с помощью формулы (97) можно вычислить истинное расстояние § 4. Геометрия кривых поверхностей 315
от начала координат до любой точки Р, лежащей в любой ячейке, коль скоро гауссовы координаты х, у точки О известны.
Таким образом, метрические коэффициенты определяют всю геометрию поверхности.
Нам возразят, что это утверждение не может быть верным. Ведь сетка гауссовых координат была выбрана совершенно произвольно, и, таким образом, произвольность распространяется и на величины gn, g 12, gtz- Это верно. Можно выбрать другую координатную сетку; мы получили бы расстояние между теми же точками О и P в виде выражения, структура которого аналогична формуле (97), но с другими множителями ?п> Sn' §22- Однако, вне всякого сомнения, существуют правила, позволяющие установить формулы преобразования, связывающие gu, gl2, g22 с g'n, g'l2, g22, похожие на те, с которыми мы уже познакомились выше.
Всякий действительный геометрический элемент на поверхности, очевидно, должен выражаться формулами, не изменяющимися при заменах гауссовых координат (т. е. .инвариантными). Это превращает геометрию поверхности в теорию инвариантов весьма общего вида. Единственное требование к координатной сетке состоит в том, что она должна искривляться только плавно и покрывать всю поверхность без щелей, причем ни одна точка не должна оказаться покрытой дважды.
Итак, каковы же геометрические задачи, которые предстоит решить нашему землемеру после того, как он нашел метрику?
На кривой поверхности существуют не прямые линии, а наиболее прямые; они же образуют и кратчайшие соединения между парами точек. Их математическое название — «геодезические линии»; математически они характеризуются следующим образом: делим произвольную линию на поверхности на малые измеримые отрезки длиной Si, s2, s3, ... 5 тогда сумма
