Эйнштейновская теория относительности - Борн М.
Скачать (прямая ссылка):
Очевидно, что совершенно бессмысленно определять координаты и время X, у, г, t обычным способом, так как при этом все фундаментальные геометрические понятия — прямая линия, плоскость, круг и т. д. — воспринимаются как непосредственно § 4. Геометрия кривых поверхностей
311
заданные, а применимость евклидовой геометрии в пространстве или в обобщенном по Минковскому пространстве-времени автоматически подразумевается.
В связи с этим перед нами встает проблема описать четырехмерный мир и его законы на базе априорных представлений, не опираясь на какую-либо конкретную геометрию.
Может показаться, что почва уходит из-под наших ног. Все шатается, прямое оказывается искривленным, кривое выпрямляется. Однако трудность этого предприятия не смутила Эйнштейна. Математики к тому времени уже проделали важную предварительную работу. Гаусс (1827 г.) уже дал набросок теории искривленных поверхностей в форме обобщенной двумерной геометрии, а Риман (1854 г.) обобщил эти представления на дифференцируемые многообразия любого числа измерений. Важный вклад в теорию внесли среди других Кристоф-фель, Риччи и Леви-Чивита. Мы не можем здесь показать, как используются эти математические методы, хотя достаточно глубокое понимание общего принципа относительности невозможно без их помощи.
Поэтому читатель не должен ждать от последующего изложения исчерпывающих объяснений идей Эйнштейна. Он найдет здесь лишь картины и аналогии, которые всегда оказываются отнюдь не лучшей заменой точных представлений.
Но если эти наметки привлекут читателя к дальнейшему изучению, их цель будет достигнута.
§ 4. ГЕОМЕТРИЯ КРИВЫХ ПОВЕРХНОСТЕЙ
Задача построения геометрии без наперед заданного аппарата прямых линий и соответствующей им евклидовой системы аксиом и теорем отнюдь не так невероятна, как может показаться на первый взгляд. Представим себе землемера, который должен обмерить холмистый участок земли, покрытый густым лесом, и затем сделать карту участка. Из каждой точки он может видеть лишь небольшую часть окружающего. Теодолиты для нашего землемера бесполезны; по сути дела, ему приходится рассчитывать только на измерительную рулетку. Она позволяет измерять небольшие треугольники или четырехугольники, вершины которых можно отмечать колышками, вбитыми в почву; соединяя такие непосредственно измеримые фигуры друг с другом, землемер может постепенно продвигаться вперед к более удаленным участкам леса, которые сразу он рассмотреть не мог бы.
Говоря абстрактно, землемер может пользоваться методами обычной евклидовой геометрии в небольших областях. Но эти методы оказываются неприменимыми ко всему земельному 312
Г л. VII. Общая теория относительности Эйнштейна
участку как целому. Такой участок можно геометрически изучить лишь шаг за шагом, переходя от одного элемента к другому. Более того, евклидова геометрия, строго говоря, неприменима на холмистых участках: на такой поверхности не существует прямых линий вообще. Короткую ленту линейки можно считать прямой, но не существует прямой линии, соединяющей все точки поверхности от долины до долины или от холма до холма. Евклидова геометрия, таким образом, в определенном смысле верна лишь для малых, или инфинитезималь-ных, областей, тогда как в более обширных областях действует
более общее представление о пространстве, или, вернее, о поверхности.
Если землемер решил действовать систематически, он сначала покроет лесистую поверхность сетью линий, помечая их колышками или «привязывая» к определенным деревьям. Ему понадобится два пересекающихся семейства линий (фиг. 136). Линии будут выбраны по возможности гладкими и непрерывно искривленными, а в рамках каждого семейства будут последовательно перенумерованными. Возьмем X в качестве символического осозначения люоого члена одного семейства, а у — любого члена другого семейства.
Каждую точку пересечения тогда будут характеризовать два числа хну, скажем х = 3 и у = 5. Все промежуточные точки можно характеризовать дробными значениями х и у. Этот способ определения точек искривленной поверхности впервые использовал Гаусс, поэтому хну называют гауссовыми координатами.
Самая характерная черта гауссова метода состоит в том, что X н у не означают ни длин, ни углов, ни каких-либо других измеримых геометрических величин, а являются просто числами, как в американском способе обозначения улиц и домов.
Задача определения- единичной меры в этом исчислении точек на участке полностью ложится на землемера. Длина его
Фиг. 136. Два пересекающихся семейства кривых, служащие координатами на поверхности.
§ 4. Геометрия кривых поверхностей
313
рулетки определяет область, соответствующую одной ячейке в сетке гауссовых координат.
Теперь землемер может обмерять ячейку за ячейкой. Каждую из этих ячеек можно рассматривать как малый параллелограмм; она полностью определена, как только две прилегающие стороны и угол между ними известны. Землемер должен обмерить каждую из этих ячеек и затем нанести ее на свою карту. Проделав эту процедуру для всей координатной сетки, он, очевидно, получит исчерпывающие сведения о геометрии участка на своей карте.
