Эйнштейновская теория относительности - Борн М.
Скачать (прямая ссылка):
расширение естественного представления о числах; однако благодаря образованию и привычке они всем знакомы и не вызывают ощущения странности. Введение мнимых чисел представляет собой подобное же расширение: все формулы, содержащие мнимые числа, имеют такой же определенный смысл, как и формулы с обычными, «реальными» числами; выводы, следующие из этих формул, не менее убедительны.
Пользуясь символом V ~~ 1=г', мы можем записать
и = ict.
Неевклидова геометрия плоскости xt оказывается, таким образом, формально идентичной евклидовой геометрии в плоскости хи, если мнимые значения и сопоставить реальным временам t.
Эта теорема имеет большую ценность для математического аппарата теории относительности, так как предмет многочисленных операций и вычислений может не иметь ничего общего с реальностью рассматриваемых величин и сводиться лишь к алгебраическим соотношениям, существующим между ними,— а эти соотношения так же хорошо выполняются для мнимых чисел, как и для действительных. Благодаря этому мы можем применять законы, известные из евклидовой геометрии, к четырехмерному миру. Минковский заменяет х, у, z, ict на х, у, г, и и затем оперирует с этими четырьмя координатами полностью симметричным образом. Фундаментальный инвариант при этом, очевидно, приобретает вид
F = S2 = X2+ у2+ Z2 + и2.
Таким путем особенность временной переменной (заключающаяся в том, что ее квадрат входит в F с отрицательным знаком) исчезает из всех формул, что в заметной мере упрощает вычисления и позволяет без труда рассматривать эти формулы как целое. В окончательном результате мы вновь заменяем и на ict и сохраняем физический смысл только за теми формулами, которые содержат исключительно действительные числа.
В плоскости xt время t, очевидно, невозможно поменять местами с X. Световые линии X и У образуют непреодолимые барьеры между временно-подобными и пространственно-подобными мировыми линиями. Таким образом, преобразование Минков-ского и = ict представляет ценность лишь как искусственный математический прием, проливающий свет на определенные формальные аналогии между пространственными и временной координатами, не обеспечивая, однако, их взаимозаменяемости. Мы можем назвать
S=VT = Vx2+ у2+ Z2+ и2 = Vx2 + у2+ Z2*- сЧ2 (97) «четырехмерным расстоянием», но при этом следует помнить, § 11. Абсолютный мир Минковского.
299
что это выражение используется лишь символически. Отправляясь от нашего предыдущего обсуждения инварианта F, реальный смысл величины S нетрудно истолковать. Ограничимся плоскостью xt (или хи) \ тогда
S=YJ= Yx2 + и2 = Yx2 - сЧ2.
Далее, для всякой пространственно-подобной мировой линии F положителен, следовательно, s, как квадратный корень из положительного числа, есть действительная величина. Тогда можно сделать мировую точку (событие) х, t одновременной с началом путем соответствующего выбора системы отсчета 5. При ? = О мы имеем S= YX2 = X в роли пространственного расстояния от мировой точки до начала отсчета.
Для всякой временно-подобной мировой линии F отрицателен и, значит, S мнимо. Тогда существует система координат, в которой х = 0 и, следовательно, s= Y — с212 = ict. Таким образом, в том и в другом случае s имеет простой смысл и является измеримой величиной.
Наш обзор специальной теории относительности Эйнштейна можно суммировать в виде следующих утверждений.
Не только законы механики, но и законы всех физических 'событий, в частности и электромагнитных явлений, совершенно одинаковы в бесконечном множестве систем отсчета, движущихся с постоянными скоростями относительно друг друга и называемых инерциальными системами. В любой из этих систем длины и времена, измеренные с помощью одной и той же физической линейки и одних и тех же часов, кажутся иными из всякой другой системы, но результаты измерений всегда связаны друг с другом посредством преобразования Лоренца.
Системы отсчета, движущиеся относительно друг друга ускоренно, идентичны инерциальным системам не в большей мере, чем в обычной механике. Запись физических законов в разных ускоренных системах оказывается различной. В механике эти законы начинают содержать центробежные силы, в электродинамике тоже существуют аналогичные эффекты; однако их изучение увело бы нас слишком далеко. Итак, специальная теория относительности Эйнштейна не порывает окончательно с ньютоновским абсолютным пространством в том ограниченном смысле, в каком мы использовали это понятие (гл. III, § 6, стр. 73). В известном смысле эта теория приводит всю физику, в том числе и электродинамику, в то состояние, в котором находилась механика со времен Ньютона. Фундаментальные вопросы абсолютного пространства, которые тревожили нас, еще не разрешены.
Теперь мы расскажем, как Эйнштейн преодолел эти трудности. ГЛАВА
VII
ОБЩАЯ ТЕОРИЯ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ ЭЙНШТЕЙНА
§ 1. ОТНОСИТЕЛЬНОСТЬ В СЛУЧАЕ ПРОИЗВОЛЬНЫХ ДВИЖЕНИЙ
Рассматривая классическую механику, мы подробно обсудили причины, которые привели Ньютона к представлениям об абсолютном пространстве и абсолютном времени. В то же время мы подчеркнули возражения, которые можно выдвинуть против этих абстракций с точки зрения теории познания.
