Эйнштейновская теория относительности - Борн М.
Скачать (прямая ссылка):
Таким образом, строгая формула доплер-эффекта приобретает симметричный вид
V'Y1 +7 =vZ1 -T' (96)
иллюстрирующий эквивалентность систем отсчета S и S'.
В случае малых ? = v/c мы получаем обычную формулу (41) для доплер-эффекта, пренебрегая ?2 в формуле (95в):
~ TTfT-v(l-?).
Формулу (96) можно получить и исходя из представлений о квантах света с энергией
8 = Av
и импульсом
в
р = — .
г с
При подстановке е = Ziv и є' = Av7 в формулу (91) результат получается идентичным формуле (96).
Для больших скоростей релятивистская формула (96) отличается от классической (41). Это отличие выступает еще более отчетливо в случае, когда направления распространения световой волны и относительной скорости V двух систем отсчета не совпадают, в частности, когда они перпендикулярны друг другу. Согласно классической теории, в этом случае эффекта Доплера не должно существовать вообще, тогда как в релятивистской теории он существует. Поэтому можно говорить о новом релятивистском эффекте, который часто называют поперечным доп-лер-эффектом. Его можно толковать таким же образом, как'и обычный продольный эффект.
Предположим, как и раньше, что относительная скорость систем ShS' направлена параллельно совпадающим осям х и х', но направление распространения световой волны уже пер- § 10. Оптика движущихся тел
293
пендикулярно этим осям,, скажем параллельно оси у'. Однако считать, что нормаль к фронту световой волны в системе S параллельна оси у, уже недопустимо.
Расстояние от начала пакета световых волн в момент to до его конца в момент^ при наблюдении в системе S' равноу\ — г/?; в системе S оно будет равно не просто г/і — г/о, но будет также зависеть от X1— х0, скажем, будет равно а(хі — Хо) + Ь(г/4— г/о). Инвариантность фазы при этом задается как
Теперь нужно применить преобразование Лоренца (70а) или (706). Если воспользоваться формулой (706) и положить в ней x\ = Xf0, у[ = г/g, выражая тот факт, что опыт выполняется в фиксированной точке в системе S', то вычисления усложняются, так как при этом необходимо знать величину а. Но если пользоваться формулой (70а), полагая в ней Xl = Xo, уі — у0, то мы без труда получаем
Наблюдатель, движущийся относительно системы S со скоростью V, рассматривая источник света с частотой v в системе S, измерит измененную частоту
V'= Ctv = YI --^2 V,
которая меньше v. Это и есть поперечный доплер-эффект. Как следует из самого его вывода, поперечный доплер-эффект тесно связан с замедлением времени
t\ — t'o = ^ (t\ — to);
он означает попросту, что число тиканий часов одинаково для всех наблюдателей.
Поперечный доплер-эффект удалось наблюдать в лаборатории с помощью каналовых лучей (гл. IV, § 8, стр. 126), скорость и направление которых были очень точно известны (Иве и Стил-велл, 1938 г.; Оттинг, 1939 г.). Сложность этих измерений состоит в том, что если направление наблюдения несколько отклоняется от перпендикуляра к направлению распространения каналовых лучей, то в результате замера будет давать вклад и обычный продольный доплер-эффект. Эту трудность удалось преодолеть, заметив, что смещения, соответствующие продольному доплер-эффекту, для двух световых лучей, излучаемых 294 Г л. VI. Эйнштейновский специальный принцип относительности
каналовыми лучами в противоположные стороны, противоположны и равны по величине; если наблюдать оба луча света одновременно и брать среднее из двух результатов, то продольный эффект оказывается исключенным. Так было подтверждено существование поперечного доплер-эффекта, а тем самым получено довольно прямое доказательство замедления времени.
Перейдем теперь к аберрации света. Мы можем применить только что использованный метод: выяснить влияние преобразования Лоренца на направление светового луча (т. е. на значения определенных выше коэффициентов а и Ь). Однако этот метод приводит к несколько усложненным вычислениям, и мы предпочтем другой, именно применим к световым квантам теорему сложения скоростей.
Луч света распространяется в направлении оси у системы S', так что и'х = О, Uy = с. Формулы преобразования (70а) и (706) дают для скоростей в системе S:
их = V и Uy = с у 1 - р- .
Таким образом, в системе S направление светового луча не перпендикулярно оси X, а наклонно к ней. Убедимся сначала, что скорость светового луча в системе 5 также равна с: действительно, имеем _
Vu\ + ul = c.
Отношение компонент скорости ujиу соответствует элементарному определению константы аберрации d/l (фиг. 132). Здесь / — длина телескопа и d — смещение телескопа за промежуток времени, затраченный светом на путь в трубе телескопа (гл. V, § 3). Итак, имеем
d _ их _ v/c
Другой способ вывода формулы аберрации состоит в том, чтобы, исходя из представления о световом кванте, применить формулы преобразования (88а) и (886) к компонентам импульса и энергии. Запишем эти формулы с обычным сокращением а=]Л_ ?2> ^ = v/c:
aPx = P* +V-Т> Py = Py' а E^E' + vp'x.
В предположении, что квант света движется в направлении оси у системы S', компоненты его импульса в системе S' равны
