Эйнштейновская теория относительности - Борн М.
Скачать (прямая ссылка):
Г л. II. Фундаментальные законы классической механики
моментам времени t = 0, 1, 2, 3, ... сек, на плоскость ху, то будет ясно, что пространственное смещение происходит вдоль прямой линии и в равные интервалы времени точка проходит одинаковые пути.
Всякое непрямолинейное движение называют ускоренным, даже если оно происходит, например, с постоянной скоростью, но по искривленной траектории. Действительно, в этом случае изменяется направление скорости, хотя ее величина остается неизменной. Ускоренные движения представляются в плоскости xyt (фиг. 15) различными кривыми. Проекцию такой кривой на плоскость ху называют плоской траекторией. Скорость и ускорение также вычисляются с помощью предположения, что кривая заменяется ломаной, близко примыкающей к этой кривой. В каждом углу этой ломаной изменяется не только величина, но и направление скорости. Более точный анализ понятия ускорения завел бы нас слишком далеко; до-
Icbk ¦ ¦
Фиг. 14. Равномерное движение в плоскости, как оно изображается в системе координат Xt у, t. Через 1, 2, 3, 4 ... сек точка, движущаяся в плоскости ху, достигает основания параллельной линии, помеченной номером 1, 2, 3, 4, ... соответственно.
ІСЄК
«
Фиг. 15. Ускоренное движение Фиг. 16. Скорость о движения в пло-
B ПЛОСКОСТИ (СМ. ПОДПИСЬ K фИГ. 14). СКОСТИ ИМееТ КОМПОнеНТЫ Vx И Vy.
статочно упомянуть, что лучший способ состоит в следующем: спроектировать график движущейся точки на оси координат X и у и проследить прямолинейное движение этих получившихся двух точек или, что то же самое, проследить, как изменяются координаты X и у в зависимости от времени. При этом понятия, введенные выше для прямолинейных движений, можно приме- § 4. Круговое движение
33
нять к этим спроектированным движениям. Таким образом, мы получаем две компоненты скорости Vx И Vy и две компоненты ускорения Ьх и by, которые вместе определяют скорость и ускорение движущейся точки в каждый данный момент времени.
В случае плоского движения (а также движения, происходящего в пространстве) скорость и ускорение оказываются направленными величинами (векторами). Они имеют Определенные величины и определенные направления. Величины их можно подсчитать, зная их компоненты. Например, величину и направление скорости можно вычислить как гипотенузу прямоугольного треугольника, катеты которого равны Vx и Vy (фиг. 16). Тогда по теореме Пифагора величина скорости равна
Соответствующий результат справедлив и для ускорения.
Существует лишь один случай, который мы хотели бы рассмотреть более подробно, а именно движение точки по круговой
Фиг. 17. К объяснению центростремительного ускорения при круговом движении с постоянной скоростью V.
орбите (фиг. 17,а). В соответствии с уже сказанным это движение является ускоренным, так как направление скорости постоянно изменяется. Если бы движение было не ускоренным, то движущаяся точка перемещалась бы из положения А по прямой линии с постоянной скоростью v. Но поскольку на самом деле точка должна оставаться на круговой орбите, она должна иметь дополнительную скорость или ускорение, направленное к центру— точке М. Это ускорение называют центростремительным
V = Yv\ + V2y.
(3)
§ 4. КРУГОВОЕ ДВИЖЕНИЕ
ш
2 Зак. 1219 34 Г л. II. Фундаментальные законы классической механики
ускорением. Именно оно заставляет скорость в близлежащем от начала движения положении В, в которое попадает движущаяся точка через малый интервал времени т, изменить направление, которое эта скорость имела в точке А. На отдельной диаграмме (фиг. 17,6) мы провели из точки С в точки DnE векторы скорости в точках А и В, принимая во внимание их ве-„ личины и направления. Величины этих векторов одни и те же
(именно равные v), поскольку точка движется по окружности с постоянной скоростью, но направления их различны. Если соединить конечные точки D и E двух векторов скорости, то линия, соединяющая их, очевидно, будет представлять собой дополнительную скорость W, которая превращает первое состояние скорости во второе. Итак, мы получили равнобедренный треугольник CED, который имеет основание W и стороны V. Мы сразу видим, что угол а при вершине треугольника равен углу, образованному двумя радиусами окружности и стягиваемому Дугой, по которой движется точка. Действительно, скорости в положениях А и В перпендикулярны радиусам MA и МБ, поэтому и те и другие заключают один и тот же угол. Таким образом, два равнобедренных треугольника MAB и CDE подобны, и справедлива пропорция
DE _ AB CD MA '
Итак, DE = w, CD = v, и более того, MA равно радиусу круга г, a AB равно дуге s, если не считать малой ошибки, которую можно сделать как угодно ничтожной, делая интервал времени т достаточно малым.
Таким образом,
Фиг. 18. Представление кругового
движения с постоянной скоростью. Скорость о и радиус окружности выбраны так, что каждые четыре секхиды точка описывает одну полную окружность.
Можно разделить эту последнюю формулу на т и заметить, что sjx = V, WIx = Ъ. Отсюда
л2 §5. Движение в пространстве
