Эйнштейновская теория относительности - Борн М.
Скачать (прямая ссылка):
Следующий вопрос, который нам предстоит обсудить, — это оптические явления в движущейся материи.
§ 10. ОПТИКА ДВИЖУЩИХСЯ ТЕЛ
Теперь, когда мы уже установили наиболее важные выводы, вытекающие из измененной механики, пришло время вернуться к тем проблемам, которые послужили основным истоком эйнштейновской теории относительности, именно к оптике движущихся тел. Фундаментальные законы этих явлений сконцентрированы в максвелловских уравнениях поля. Уже Лоренц установил, что в пустом пространстве (е = 1, ц = 1, о = 0) эти урэвнения инвариантны относительно лоренц-преобразования. Точные инвариантные уравнения поля для движущихся тел были сформулированы Минковским (1907 г.). Они отличаются от формул Лоренца из его теории электрона лишь малыми членами, недоступными наблюдению, но так же, как формулы Лоренца, описывают частичный перенос диэлектрической поляризации и, таким образом, удовлетворительно объясняют все электромагнитные и оптические явления, связанные с движущимися телами. Напомним, в частности, опыты Рентгена, Эйхенвальда и Вильсона (см. гл. V, § 11, стр. 190—195) (хотя мы и не будем рассматривать их более подробно, так как это потребовало бы трудоемких математических вычислений). Но оптику движущихся тел можно рассмотреть совершенно элементарным способом, поэтому мы опишем ее здесь, поскольку она представляет собой одно из наиболее наглядных приложений теории Эйнштейна.
Согласно теории относительности, эфира не существует; существует лишь движение тел относительно друг друга. Отсюда самоочевидно, что оптические явления, происходящие так, что источник света, среда, в которой распространяется излучение, и наблюдатель покоятся в одной из инерциальных систем, остаются неизменными во всех других инерциальных системах. Тем самым объясняется и опыт Майкельсона — Морли. Вопрос теперь заключается в следующем: описывает ли теория правильно такие явления, при которых источник света, среда,
10 Зак, 1219 290 Г л. VI. Эйнштейновский специальный принцип относительности
в которой распространяется излучение, и наблюдатель находятся в относительном движении.
Представим себе световую волну в материальном теле, покоящемся по отношению к системе отсчета S. Пусть скорость световой волны равна C1 = Cfti (где п — показатель преломления), ее волновое число равно v, а направление относительно системы S совпадает с осью х. Выясним, каковы эти характеристики волны с точки зрения наблюдателя, покоящегося в системе отсчета S', которая движется со скоростью v параллельно оси X системы S.
Отвечая на этот вопрос, мы будем пользоваться тем же методом, который применяли раньше (гл. V, § 7, стр. 119), с тем исключением, что теперь за основу своих рассуждений мы возьмем не преобразование Галилея, а преобразование Лоренца. Раньше мы показали, что число волн
.Jt ± Xi-Xg
V Ui - h---—
представляет собой инвариант, ибо оно означает число волн, которые достигли ТОЧКИ X0 до момента времени to и покинули точку X1 после момента времени ti (фиг. 69, стр. 119). Эта инвариантность сохраняется, конечно, и в случае преобразования Лоренца. Мы имеем
с\ ) \ ci
где V, v' и Ci, Ci — частоты и скорости световой волны относительно систем S и S'. Если справа подставить выражения для х' и t' согласно преобразованию Лоренца (70а) (стр. 230), то мы получим
Xl-Xa-VJti-J0)'
где
Рассмотрим теперь весь пакет волн в один и тот же момент времени, т. е. положим ii — to — 0. Разделив на (л: і— X0), имеем
V
Vfv , 1 \ § 10. Оптика движущихся тел 291
Во-вторых, рассмотрим волны, проходящие через одну и ту же пространственную точку Ar1 = Ar0. Сократив на — /0), получим
Разделив теперь второе равенство на первое, найдем
1+4
C1 C1 +V
V 1 VC1
-+— 1 + — с с, с
Это выражение точно согласуется с эйнштейновской теоремой сложения скоростей для продольного движения [формула (77а), стр. 259], если в ней заменить их на Ci, а и'х на с\. То же правило, которое выполняется для вычисления скоростей материальных тел относительно различных систем отсчета, применимо и к скорости света.
Если, наоборот, разрешить наше соотношение относительно с\, то мы получим формулу увлечения
Ci-V
cl ¦¦
1 "с*
Если пренебречь членами более высокого порядка по ? = v/c, чем второй, то эта формула совпадает с формулой увлечения Френеля [44] (стр. 134). Действительно, в этом приближении можно записать
' =1 + 1-=1+4-
д OCi 1-А п пс
C2 п
Таким образом,
1V C1 ' ПС ПС\ C2 I '
отбрасывая последний член второго порядка и полагая
iL = I
с п '
получаем
Это как раз и есть формула увлечения Френеля, Ю* 292 Г л. VI. Эйнштейновский специальный принцип относительности
Формула (956) представляет собой формулировку принципа Доплера. Обычно ее применяют к вакууму, так что с і = с; тогда, как мы знаем, из теоремы сложения скоростей (стр. 259) вытекает, что с[ — с. При этом формула (956) дает
v'=v T^v yW- (95в)
с
Но 1 — ?2 = (1 — ?) (1 + ?); следовательно, можно записать
v, = v ШШ. = v -і/ІЕГ v v i + ? v V і+? •
