Эйнштейновская теория относительности - Борн М.
Скачать (прямая ссылка):
Существует соотношение между током и зарядом, аналогичное соотношению между пространственной и временной координатами или соотношению между импульсом и энергией, которое мы только что обсудили. Мы рассмотрим сейчас это соотношение и сделаем небольшой экскурс в релятивистскую теорию электричества.
Предположим, что в кубе с ребром I0 находится N электронов и, следовательно, заряд N • е. Тогда плотность заряда ро в этом объеме равна
Если все заряды покоятся, то плотность тока /0 равна нулю. 286 Г л. VI. Эйнштейновский специальный принцип относительности
Наблюдатель, относительно которого заряды движутся со скоростью V в направлении одного из ребер куба, будет видеть сократившийся объем
так как ребро куба, параллельное направлению скорости, сжимается в отношении
/
1
Число электронов, однако, не может изменяться в зависимости от системы отсчета. Поэтому наблюдатель, измеряя плотность заряда, получит величину
P--7=f--T=^r- (92)
«у^Гу^Т
Движущиеся заряды представляют собой ток, плотность которого / внутри куба определяется, очевидно, равенством
Nev----p0tV = Pf- (93)
NeV___PqO
С помощью (92) и (93) мы можем вывести инвариант, образованный из / и р точно так же, как мы раньше строили инварианты из X и t или из р и т:
f _ C2P2 = р2 (к2 - с2) = - P2C2. (94)
Уравнения (92) и (93) можно записать также в виде
то M0
Следовательно, величины / и р подчиняются тому же закону преобразования, что и р и т, — преобразованию Лоренца. Именно,
P--V/
// = /-pP о' = с*
V^T
или, после обращения,
. , о ґ
/= Г+vp' р
/ЯГ "тАЧ
в согласии с (70а), (706) и (88а), (886), (88в). § 9. Энергия и импульс
287
Таким образом, мы приходим к замечательному эффекту, рассмотрим длинную прямую проволоку, находящуюся в состоянии покоя и несущую некоторый ток. Проволока электрически нейтральна, так как в ней присутствует столько же положительных ионов в состоянии покоя, сколько в ней движется отрицательных электронов (п частиц на единицу объема). Электроны могут иметь скорость и. Теперь плотности заряда и тока можно записать таким образом:
электроны р_ = — пе, /_ = — пей = р_и
ионы р+ = -H пе, /+ = 0;
P+ + P- = O.
Но наблюдатель, движущийся со скоростью v вдоль проволоки, должен обнаружить, что проволока заряжена: ведь плотности зарядов, соответствующих электронам и ионам, которые он измерит, определяются трансформированными выражениями
о
, р~ ~ J~ р_ Z1 ой \
P+ =
/ЧГ
складывая эти две величины, найдем полную плотность
OU
, , , с2 nevu
Р;+Р'_ = -Р_
Мы видим, что в результате получается положительный заряд.
Это явление можно проиллюстрировать диаграммой в плоскости X, et (фиг. 131,6). Для простоты мы будем рассматривать одномерную модель проволоки и предполагать, что положительные ионы и отрицательные электроны следуют друг за другом на одинаковом расстоянии а вдоль проволоки (фиг. 131, а). В момент времени t = 0 электроны и ионы могут располагаться в одних и тех же точках проволоки; мировые линии покоящихся ионов представляют собой прямые, параллельные оси et, а мировые линии электронов такще параллельны друг другу, но наклонены в соответствии с их скоростью и. В системе xf, et', движущейся относительно системы X, et со скоростью V, расстояние ВО между ионами вдоль оси х' должно отличаться от расстояния DO между электронами. На фиг. 131,6 расстояние ВО 288 Г л. VI. Эйнштейновский специальный принцип относительности
меньше, чем DO. Следовательно, плотность ионов превышает плотность электронов, и проволока поэтому оказывается заряженной положительно.
Рассмотрим поля, создаваемые током и зарядом в двух системах отсчета. Мы знаем, что электрически нейтральная проволока, несущая ток в системе х, et, окружена только магнитным
©—- ©-— ©—- G—- О—-
© © © © ©
Фиг. 131. Релятивистская кинематика электрического тока в нейтральном
проводнике.
а —покоящиеся ионы (+) и движущиеся электроны (—) в проволоке, б — мировые линии ионов параллельны друг другу и оси et, мировые лииии электронои параллельны между собой, но наклонены к оси, причем расстояния между соседними ионами и соседними электронами одинаковы и равны а. При наблюдении в системе х', et', движущейся относительно системы X, et со скоростью V, расстояния между нонами OB не равны расстояниям между электронами OD.
полем Я, тогда как положительно заряженная проволока в системе х', et' создает, вокруг себя, кроме того, электрическое поле Е. Следовательно, в теории относительности понятия электрического и магнитного полей не имеют независимого смысла; их следует объединить в единое понятие электромагнитного поля {Е и Я), компоненты которого зависят от системы отсчета. Это означает, например, что если в одной системе отсчета S существует только магнитное поле, то наблюдатель в си- § 10. Оптика движущихся тел
289
стеме S' должен обнаружить и электрическое поле, и наоборот. Таким образом, мы приходим к чрезвычайно простому качественному объяснению электромагнитных явлений в движущейся материи, рассмотренных выше (гл. V, § 11): на фиг. 103 И 105 элемент материи движется в магнитном поле, поэтому наблюдатель, движущийся с этим элементом, наблюдает электрическое поле. Это электрическое поле в проводнике возбуждает электрический ток, а в изоляторе наводит электрические заряды на поверхности.
