Эйнштейновская теория относительности - Борн М.
Скачать (прямая ссылка):
Это — классические формулы.
Выведем теперь изменение T или E под действием импульса силы, длящегося короткое время т. Пусть величины V, T(O) и ?(0) характеризуют соответственно скорость в направлении оси X, кинетическую энергию и полную энергию рассматриваемого тела до того, как начала действовать сила; пусть її, Т(т) и Е(т) представляют соответственно скорость, кинетическую и полную энергии того же тела после действия импульса силы. Тогда с помощью (84) мы имеем
Из предыдущего параграфа [см. уравнение (д)] мы знаем, что
«2 = Q +l(2mo)o2.
(85)
и
Е(х)-Е (0) = Т(х)~ T(O) = [т (б) - т (»)] с2. § 8. Инерция энергии 275
где Wx — малая добавочная скорость в направлении оси х, возникающая в результате действия силы (фиг. 128). Итак,
E(x)-E(0) = -^-m(v) = Kxvx.
Последнее из этих равенств следует из формулы (80). Далее, величина
E(X)-E(O) _ T(I)-T(O) х г
представляет собой скорость изменения энергии; вводя компоненту ускорения
Ь =^
их T t
мы имеем
T(X)-T(O) W(P) . у -^-=-bxv = KxV. (86)
Соответствующая формула в классической механике имела бы вид
^f^ = mabxv = Kxv.
Величина, стоящая справа в формуле (86), представляет собой взятое с отрицательным знаком изменение потенциальной энергии U. Действительно, в течение достаточно малого интервала времени т силу можно считать приблизительно постоянной и оперировать с нею, как если бы мы имели дело с гравитационной силой. Мы показали [гл. II, § 14, стр. 53, формула (15)], что соответствующая потенциальная энергия была бы равна Gx\ здесь, однако, мы считаем направление х противоположным выбранному в случае гравитации, так что G = —Kx- Если х(0) и а-(т) —положения тела до и после действия силы, то изменение потенциальной энергии во времени приобретает вид1)
U(X)-U(O) =G X(X)-X(O)
XX х
Учитывая эти соотношения и уравнение (86), мы получаем в результате
Г(т) + ?/(т)-Г(0) + ?/(0),
') Здесь использован тот факт, что
X(T)-X(O) X
по определению скорости. 276 Г л. VI. Эйнштейновский специальный принцип относительности
т. е. T + U оказывается постоянной во времени, как и в классической механике.
Уравнение Эйнштейна (83)
E = тс2,
утверждающее, что энергия пропорциональна инертной массе, и часто называемое законом инерции энергии, представляет собой, возможно, самый важный результат теории относительности. Мы приведем другое простое доказательство его, принадлежащее самому Эйнштейну, — доказательство, не требующее использования математического формализма теории относительности.
Оно опирается на тот факт, что световое излучение оказывает давление. Из максвелловских уравнений поля, дополненных теоремой Пойнтинга (1884 г.), следует, что световая волна, падающая на поглощающую поверхность, оказывает на эту поверхность давление. Установлено, что импульс, передаваемый короткой вспышкой света поглощающему телу, равен Ejc, где Е — энергия световой вспышки. Этот факт — доказательство его нам предстоит проделать в следующем параграфе (§ 9) — был подтвержден экспериментально Лебедевым (1890 г.) и позднее, с более высокой точностью, Никольсом и Холлом (1901 г.) и другими. Точно такое же давление испытывает тело, излучающее свет, подобно тому как ружье испытывает отдачу при выстреле.
Итак, представим себе длинную трубку, на концах которой расположены два тела А и В, совершенно одинаковые и сде-ланнные из одного и того же материала, т. е. два тела, которые, согласно обычным представлениям, имеют одну и ту же массу (фиг. 130). Но пусть тело А имеет избыток энергии E по сравнению с телом В, скажем в форме теплоты, и пусть существует некое устройство (скажем, вогнутое зеркало или что-нибудь в этом духе), с помощью которого энергию E можно направить в форме излучения к телу В. Пусть пространственная протяженность такой световой вспышки будет мала по сравнению с длиной трубки / (фиг. 130).
Тогда тело А испытывает отдачу, равную Ejc. Тем самым и вся трубка, общую массу которой мы будем считать равной М, приобретает скорость v, направленную в противоположную от световой вспышки сторону и определяемую соотношением между импульсами
Mv - —.
с
Движение трубки продолжается до того момента, когда вспышка достигает тела В, которое поглощает ее. При этом В § 8. Инерция энергии
277
испытывает эквивалентный толчок по направлению вперед и тем самым затормаживает всю систему до состояния покоя. Смещение, которое претерпевает система в течение периода времени t, пока свет проходит расстояние между телами А и В, равно X = vt, где V нужно взять из предыдущего уравнения; итак,
_ Et Х~ Mc'
Но время путешествия определяется (за исключением малой ошибки высшего порядка) равенством / = ct. Отсюда смещение равно
= El Х Mc2 •
Теперь тела А и В можно поменять местами (это можно осуществить без внешних воздействий). Предположим, что
— Ш,
в А Щ
L ш
с
в Ж А
Wi —
1 в А
X щ —
Фиг. 130. Трубка с двумя одинаковыми телами Л и В на
концах.
Тело А несет энергию Я. Эта энергия посылается в виде световой вспышки со скоростью с к телу В', отдача вызывает движение трубки со скоростью и. Когда энергия E поглощается телом В, трубка снова приходит в состояние покоя, но уже в смещенном на расстояние х положении.
