Эйнштейновская теория относительности - Борн М.
Скачать (прямая ссылка):
Существует один момент, связанный с неупругим столкновением, которого мы не касались в предыдущем параграфе: мы не обсудили соотношение между массами т шаров и массой M
Фиг. 129. Столкновение двух-шаров (фиг. 126,6) при наблюдении в системе S", в которой общая скорость после столкновения равна нулю. Скорости шаров до столкновения были равны
й и -S.
двух соединившихся шаров после столкновения. Этот вопрос можно выяснить с помощью уравнения (в)
Сначала рассмотрим массу покоя M(O) =M0 соединившихся шаров. Мы получаем ее, переходя к системе S", в которой скорость массы M равна нулю. (фиг. 129). Очевидно, система S" движется со скоростью її относительно системы S. Поскольку два шара одинаковы, из соображений симметрии вытекает, что до столкновения они имеют противоположно направленные скорости ±и в системе S". (При преобразовании й переходит в 0, и переходит в м и 0 переходит в —м.)
§ 8. ИНЕРЦИЯ ЭНЕРГИИ
т (и) + т (0) = M (и),272 Г л. VI. Эйнштейновский специальный принцип относительности
Тогда закон сохранения массы записывается как
т(й) + т(-й) = 2т(й) = M (O) = M0 (а)
или
M0 = 2—7^==-, (а')
/Ї
В случае, когда скорости малы, ы <С с, имеем
М0 = 2т0{\ + ±-^) = 2т0 + 2±-\тйй2. (б)
Масса покоя M0 не равна 2т0 — сумме масс двух сталкивающихся шаров, как можно было думать. Существует вклад второго порядка; член, определяющий кинетическую энергию двух шаров до столкновения, деленную на с2. Кинетическая энергия одного шарика равна
Г = -у- й2.
Когда два шара переходят в состояние покоя при столкновении, их кинетическая энергия 2T превращается в тепловую энергию, количество которой Q = 2Т. Мы видим, что в нашем случае
M0 = 2т0 + -?-. (в)
Это можно истолковать, предположив, что добавление тепловой энергии Q приводит к увеличению массы на Qlc2.
Другим примером того, как изменяется масса, может служить добавление кинетической энергии. Рассмотрим нормальную зависимость массы m(v) от скорости v для скоростей V « с:
tn (v) = т0 +-J m0v2 = от0 + . (г)
Вновь масса возросла на количество энергии, деленное на с2, где энергия, о которой идет речь, теперь есть кинетическая энергия T движущегося тела.
Можно обобщить эти результаты, сказав, что добавление дополнительной энергии е вызывает изменение массы тела на величину е/с2. Мы доказали это только в случаях кинетической энергии и тепловой, однако мы ожидаем, что такое утверждение будет справедливым и для всех других видов энергии (электрической энергии, химической и т. д.)
Если умножить уравнение (б) на с2 и использовать (в), то получается соотношение
2 m0c2 + 2 T = M0C2 = 2 tn0c2 + Q (б')§ 8. Инерция энергии
273
ИЛИ
2 Г = Q. (б")
Но это — закон сохранения энергии: энергия до столкновения (кинетическая энергия 2Т) равна энергии после столкновения (тепловая энергия Q). Очевидно, формула (б") представляет тот частный случай уравнения (17), когда в процессе играют роль только кинетическая и тепловая энергии.
Итак, мы видим, что с релятивистской точки зрения закон сохранения массы представляет собой не более чем закон сохранения энергии. Таким образом, оказывается правомерным утверждение о том, что количество энергии тела E равно массе тела, умноженной на с2,
E = тс2. (83)
В общем случае кинетическая энергия T определяется как разность между энергией E = от (о) с2 движущегося тела и энергией Eo = т0с2 того же тела в состоянии покоя. Таким образом, общее определение T есть
T = (от (V) - OT0) с2. (84)
Оно сводится к классическому определению
при малых величинах v. При новом определении T уравнения (б') и (б") справедливы для скоростей, которые уже не малы по сравнению с с.
Здесь проливается свет на существенное различие между классической и релятивистской механиками. В классической механике мы должны были различать процессы, при которых механическая энергия сохраняется, и процессы, при которых она не сохраняется, а переходит в тепловую или другие формы энергии. Обращаясь, например, к нашему неупругому столкновению, мы видим, что половина кинетической энергии (в системе S) переходит в теплоту. Таким образом, механическая энергия не сохраняется.
В релятивистской же механике мы имеем закон сохранения энергии [см. уравнение (в), стр. 264], который учитывает все виды энергии:
ОТ (и) C1 + OT0C2 = M («) с2.
Это уравнение сводится в классическом (предельном) случае к обычному уравнению для этой задачи: получаем
Ot0C2 + и2 + Ot0C2 = M0C2 + J M0U2,274 Г л. VI. Эйнштейновский специальный принцип относительности
Но, как мы знаем,
где
Af0 = 2m0 + Q = 2-J той2.
.2 >
Отсюда заключаем, что
T^2 = Q+Y -2тоЙ2+-і-3-Й2.
1 Q
Последним членом следует пренебречь в классическом приближении (мСс), так как он представляет релятивистскую поправку к кинетической энергии; он меньше двух других членов на множитель й2/с2, и им можно пренебречь при малых скоростях и им. Следовательно, наше уравнение сводится к
Слева мы имеем кинетическую энергию T1 системы до столкновения. Справа Q характеризует ту часть энергии Ti, которая перешла в тепло в результате столкновения. Второй член представляет оставшуюся кинетическую энергию Tz, которой и обладают два соединившихся шара. Поскольку, как мы знаем, в классической механике U = и/2, ясно, что