Эйнштейновская теория относительности - Борн М.
Скачать (прямая ссылка):
Фиг. 127, Столкновение двух шаров (фиг. 126,6) при наблюдении в системе отсчета, в которой оба шара имеют одинаковую до« бавочную компоненту скорости а, перпендикулярную скоростям и
и й.
быть равна — и. Но мы можем выразить эту скорость с помощью формулы (77а), положив у=+«, их = й, и'х = — «.Тогда
— й + и
1-
UU
или, разрешая это уравнение относительно и,
2й
и = ¦
! + •
(б)
Уравнение (б) Показывает, Что в классической Механике [т. е. в классическом пределе (м/с) —»0], как мы и утверждали выше, й = ul 2.
Теперь запишем еще одно соотношение
m (и) + m (0) = M (o), (в)
которое можно назвать законом сохранения массы. Его нетрудно доказать, добавив к и или к u малую перпендикулярную составляющую скорости v и применяя закон сохранения импульса к г/-компоненте v (фиг. 127). Для этого введем систему отсчета S', которая движется в направлении оси у относительно § 7. Эйнштейновская динамика
265
исходной системы S со скоростью V. Мы можем применить в этом случае формулы (77а) и (776) с тем изменением, что направления х и у меняются ролями:
/-I
и' = w„--, и' —
* . ¦* UuV У UuV
C2 с2
Поскольку в системе S скорости сталкивающихся шаров и скорость образуемого ими тела направлены вдоль оси х, в обоих этих случаях иу = 0, поэтому последнее уравнение сводится просто к
Когда компоненты скорости имеют величины в системе S:
Левый шар Правый шар Составное тело
Ux и 0 й
Uy О О О
эти величины в системе S' равны соответственно:
Левый шар Правый шар Составное тело
< uYi-S- ° aY
Uy V V V
Но массы зависят только от абсолютных величин скоростей, т. е. от Vu2x, + и2,. Следовательно, в проекции на ось у закон сохранения импульса в системе Sr имеет вид
m[Y(l ~^) + v2)v + m(v)v = m{Yй2[\--J-) + ^)*,;
разделив на v, получим
m[Yu2[\-^) + v2) + m{v) = M[Y"2 (1 " р) + ^2) • W
Это уравнение должно быть справедливо при любых значениях v. В частности, при V = O мы получаем уравнение (в). Уравнение (г) представляет собой общий вид закона сохранения массы в случае произвольных скоростей, тогда как уравнение (в) — частный случай, который мы сейчас и используем при выводе зависимости массы от скорости. 266 Г л. VI. Эйнштейновский специальный принцип относительности
Заменяя M(и) в уравнении (а) на m(u) + т(0), согласно уравнению (в), находим
т(и)и= [т (и) + т (0)] й
или
т{и) = т(0)-^. С помощью (б) получаем*) окончательно
т(и)--^M=T. (78)
Таким образом, мы выяснили, как масса зависит от скорости. Массу т(0) = т0 называют массой покоя тела, т. е. массой, измеренной в системе, где тело находится в состоянии покоя. В классической механике представление о массе ограничивается лишь этим предельным случаем.
Импульс тела, движущегося со скоростью v, равен
р = mv--.т° у (79)
и представляет собой функцию скорости тела, где т обозначает массу.
') Выкладки проводятся следующим образом: подставляй а из (б), получаем
й U 1 + C2 + C2 .
іі — й 2й
Pi
С другой стороны,
H--S-
Li.., 2.(1+|1) ,-І1
('--Й'-ечЦ'-*
откуда, снова используя, (б), находим, что
і й2 \2 , "s
1--Г5- \ 4—у
I----= I•
1 / .-. 2 \ 2 1 «а »
наконец, комбинируя оба результата, получаем
й 1
/'-Jr' § 7. Эйнштейновская динамика
267
Теперь мы можем перейти к законам движения в случае сил, действующих непрерывно. При этом мы должны использовать формулировки классической механики (гл. II, § 10, стр. 43), которые базируются на представлении об импульсах, переносимых движущимися телами. Эти формулировки можно непосредственно перенести в новую динамику, но законы для продольной и поперечной компонент скорости следует формулировать раздельно.
Сила К вызывает изменение импульса, такое, что изменение продольной (или равносильно поперечной) компоненты импульса в единицу времени равно соответствующей компоненте силы.
Теперь уже без труда можно составить уравнение движения. Импульсу тела р в момент времени t = 0 можно приписать
У
. - X
Фиг. 128. Добавление к скорости о, первоначально направленной вдоль оси х, малых составляющих Wx и Wy. Результирующая скорость равна v
компоненты Px(O) и ру (0); его скорость в направлении х в момент времени t = 0 считать равной v. Далее, пусть сила, компоненты которой равны Kx и Ky, действует в течение короткого времени т: под ее действием компоненты импульса изменятся и станут равными рх(т) и ру{т). Математическое - выражение этого обстоятельства имеет следующий вид:
Px M - Px (0) = KxX, PyW-Py (0) = Kyt.
Сила вызывает малые приращения Wx и Wy у компонент скорости (фиг. 128); результирующая скорость равна v. Таким образом, мы имеем в
х-направлении: m (б) (v + wx) — m(v)v = Kxt,
«/-направлении: m(v)wy . =Kyt. 268 Г л. VI. Эйнштейновский специальный принцип относительности
Поскольку Wx и Wv малы, можно аппроксимировать v, пренебрегая квадратами этих малых величин:
v=V{v + wxy + wl~ Vyf 1+-^^(1+^) = 0 +
Wx
(мы использовали приближенное равенство VrI + 2х « 1 + что верно при малых х). Таким образом, находим
