Эйнштейновская теория относительности - Борн М.
Скачать (прямая ссылка):
Однако мы, бесспорно, можем начать с закона сохранения импульса [гл. II, § 9, стр. 42, формула (9)]. Этот закон относится к полному импульсу, переносимому двумя телами, и утверждает, что, когда два тела сталкиваются, их полный импульс (количество движения) остается неизменным независимо от того, как перераспределяются их скорости в процессе столкновения. Тем самым формулировка закона связана только с двумя действующими друг на друга телами, испытывающими взаимное столкновение без каких-либо внешних влияний; поэтому она не зависит ни от каких обстоятельств, связанных с каким-нибудь третьим телом или системой координат. В со-, ответствии с этими соображениями мы будем утверждать, что закон сохранения импульса остается справедливым и в новой динамике.
Последнее, разумеется, невозможно, как мы сейчас увидим, если сохранить права за аксиомой классической механики о том, что масса есть постоянная величина, присущая каждому телу. Поэтому мы с самого начала будем предполагать, что масса одного и того же тела есть относительная величина. Она должна иметь различные значения в зависимости от выбора системы отсчета, в которой проводится ее измерение, или — при измерении в одной и той же системе отсчета — в зависимости от скорости движущегося тела. Ясно, что масса относительно определенной системы отсчета может зависеть только от величиньг 262 Г л. VI. Эйнштейновский специальный принцип относительности
скорости движущегося тела относительно этой системы, но не от направления скорости.
Чтобы вывести неизвестную зависимость пг(и) массы тела m от его скорости и, мы обратимся к весьма специальному примеру; «неупругому» столкновению двух движущихся тел. «Не-
' CH-O OOl-• -iOO О—ЧЭ
Фиг. 126. Неупругие соударения, а —деревянный брусок (с массой mi) висит в своем равновесном положении на длинной ннтн, подобно маятнику. Револьверная пуля (с массой m 1), движущаяся носле выстрела с высокой скоростью и, попадает в брусок н застревает в нем. Брусок и пуля вместе приобретают скорость й, которая гораздо меньше и, если mi гораздо больше tnh н поэтому
может быть легко измерена по наблюдениям колебаний маятника. б — столкновение двух одинаковых шариков, слипающихся после соприкосновения. Левый шарик до столкновения движется со скоростью и; общая скорость после столкновения
равна й.
в — то же столкновение, что н на фиг. 126,6, но при наблюдении в системе S', двужущейся с той же скоростью и, что и левый шарик на фиг. 126,0. В этой системе покоится левый шарик, а правый движется со скоростью —ы; общая скорость после столкновения равна —й.
упругий» означает, что два тела «слиПаются» после столкновения. Примером такого столкновения может служить револьверная пуля m 1, попадающая в деревянный брусок т2\ после столкновения пуля и брусок приобретают одну и ту же скорость и в дальнейшем движутся с этой скоростью (фиг. 126, а).
Рассмотрим задачу сначала с точки зрения ньютоновской механики, исходя из закона сохранения импульса. До столкновения скорость пули mi можно считать равной и, а скорость бруска ГП2 — равной нулю; пусть общая скорость двух тел после столкновения равна ц, Тогда полные импульсы до и после § 7. Эйнштейновская динамика 263
столкновения равны
до столкновения HllU,
после столкновения Мй = {my + Ztt2) й.
Закон сохранения импульса требует, чтобы эти две величины были равны:
IUiit=Mii.
Это уравнение позволяет вычислить скорость пули и по скорости й после столкновения. Такой способ в самом деле использовался для определения скоростей пуль (до изобретения высокоскоростной фотографии и других современных методов): ведь скорость u значительно меньше, чем и, когда т2 гораздо больше Tnl, и ее сравнительно нетрудно измерить.
Ради простоты будем теперь считать, что оба тела совершенно одинаковы, ті = т2=т (например, два восковых шарика). Тогда її = и/2. Мы можем упомянуть, что механическая энергия не сохраняется в этом случае. Кинетическая энергия равна
Ttl О
ДО столкновения ~2-Urt после столкновения -^r й2 — Y и2. Разность этих двух энергий
при столкновении превращается в тепло. Это анализ с точки зрения классической механики.
Рассмотрим теперь два одинаковых шара согласно релятивистской механике, в которой учитывается возможная зависим мость массы от скорости. Это обстоятельство мы будем отмечать, записывая т(и). Для того же самого опыта (изображенного на фиг. 126,6) закон сохранения импульса Теперь можно записать как
т{и)и = М (й) й. (а)
В уравнении (а) мы использовали более общее представление: M (її) —для массы после столкновения, поскольку тот факт, что М(й) точно вдвое больше т(й), совсем не самоочевиден. На самом деле, мы увидим ниже, что M (U) не равно 2т (й).
Выведем теперь соотношение между и и й. Записанное выше уравнение сформулировано в системе S (фиг. 126,6), в которой левый шар движется со скоростью и, а правый — покоится. 264 Г л. VI. Эйнштейновский специальный принцип относительности
Рассмотрим тот же процесс столкновения в другой системе S', движущейся относительно системы S со скоростью + и. В нашей новой системе S' покоится уже левый шар, а правый движется со скоростью —и. Это легко видеть из уравнения (77а): скорость и становится равной 0, а скорость, равная О, Становится равной —и. Как можно заметить из фиг. 126, в, картина столкновения в системе S совершенно симметрична по виду с картиной столкновения в системе S'. Отсюда можно заключить, что общая скорость после столкновения должна
