Эйнштейновская теория относительности - Борн М.
Скачать (прямая ссылка):
Фиг. 12. Пример движения точки.
Движение начинается в момент времени / — 0 нз положения х — 0 со скоростью 5 см/сек; скорость претерпевает изменение на 10 см/сек каждую одну десятую секунды.
Если, кроме того, эти изменения равны по величине, то движение называют равномерно ускоренным (равноускоренным). Пусть каждое изменение скорости равно w; тогда, если в течение 1 сек происходит п изменений скорости, общее изменение скорости за секунду равно § 2. Изучение движения. Прямолинейное движение 29
Например, на фиг. 12
T = -^j-Cек, л = 10,
W = 10 см./сек, V0 = 5, U1 = 15, i>2 = 25 см/сёк...,
b = = 100 с м/сек2.
Эта величина b представляет собой меру ускорения. Ее размерность, очевидно, равна [6] = [o/fl = [//f2], а ее единица есть ускорение, при котором скорость изменяется на 1 единицу за единицу времени, т. е. в физической системе мер 1 см/сек2.
Когда мы хотим знать, насколько далеко переместилась за время t точка, движущаяся равноускоренно, мы представляем себе, что период времени t разделен на п равных частей, и предполагаем, что точка приобретает мгновенное увеличение скорости W в конце каждого малого интервала времени t/ti. Это малое приращение связано с ускорением Ь формулой (2), где нужно заменить интервал времени т на t/n\ так,
Ы
W= —. п
Если точка начинает движение с нулевой скоростью из положения X = 0 в момент времени t = 0, то скорость
после первого интервала времени: у,= w, после второго интервала времени: V2 = V1 +w = 2w, после третьего интервала времени: V3 = V3 + w = 3w,
и т. д.
Точка перемещается
после первого интервала времени в положение
xI = vIT'
после второго интервала времени в положение
X2 = Xi+V2^- = [V1 + Oj)-J-»
после третьего интервала времени в положение *3 = *2 + V3 - (O1 + V2 + V3) ~
и Т. д. 31
Г л. II. Фундаментальные законы классической механики
По прошествии п-го интервала времени, т. е. в конце периода t, точка будет находиться в положении
X = (Vi +V2 + ... +Vn)^-
Но
Vi +V2+ • • • + Vn = 1W + 2w + Sw + ... + nw =
= (1+2 + 3+ ... +n)w.
Сумму чисел от 1 до п можно легко подсчитать, сложив первое. с последним, второе со вторым с конца и т. д. В каждом случае сумма двух чисел оказывается равной п + 1, а всего у нас «/2 таких пар. Таким образом, мы получаем, что 1 + + 2 + ... + « = (п/2) (п + 1). Если, далее, заменить w на b (t/n), то получим
Vi+V2+ ... +t»„=-5-(о+ 1)^- = -^-(^ + 1)
и, таким образом,
bt , . 1Ч t bt2 (. 1 \ x = + = п)'
Здесь мы можем выбрать п как угодно большим. Если положить п произвольно большим, то 1 /п становится как угодно малой, и мы получаем
Эта формула означает, что проходимые пути пропорциональны квадратам отрезков времени. Если, например, ускорение b = = 100 см/сек2, то через 1 сек точка переместится на 50 см, через 2 сек — на 50 X 22 = 200 см, через 3 сек — на 50 X З2 = = 450 см и т. д. Если пользоваться меньшими отрезками, например в Vio сек, мы увидим, что точка переместилась на 1I2 X 100 X (Vio)2 = '/г см в первую десятую долю секунды, на '/г X ЮО X (2/ю)? = 2 см за вторую десятую долю секунды и т. д. Это соотношение можно изобразить в плоскости xt кривой, которую называют «параболой» (фиг. 13). Сравнивая эту фигуру с фиг. 12, мы видим, как ломаная кривая приближенно представляет непрерывную кривую — параболу. Для сбеих фигур мы выбрали одинаковое ускорение b = 100 см/сек2-, этот выбор определяет внешний вид кривых.
Понятие ускорения можно применить и к неравномерно ускоренным движениям, используя вместо 1 сек настолько малые ¦отрезки времени, в течение которых наблюдается движение, что это движение можно будет рассматривать как равномерно ускоренное. Ускорение тогда само превращается в непрерывную переменную. § 3. Движение в плоскости
31
Все эти определения становятся строгими и в то же время удобными в обращении при глубоком изучении процесса подразделения на малые интервалы, в течение которых рассматриваемая величина считается постоянной. Это приводит к нонятию предельной величины, которое служит исходным понятием дифференциального исчисления. Исторически именно исследуя проблемы движения, Ньютон, по сути дела, пришел к изобретению дифференциального исчисления и обратного ему интегрального исчисления.
Фиг. 13. Пример движения точки. Движение начинается в момент времени / = O из положения X = Oc ускорением 100 CMjсек2.
Ср. с фиг. 12.
Теория движения (кинематика, форономия) послужила предвестником истинной механики сил, или динамики. Очевидно, эта теория представляет собой некоторого рода геометрию движения. По существу в нашем графическом представлении каждое движение изображается некоторой геометрической конфигурацией в плоскости координат xt. Здесь мы имеем дело с более чем просто аналогией. Действительно, именно принцип относительности придает фундаментальное значение пониманию времени как координаты в единстве с пространственными координатами.
§ 3. ДВИЖЕНИЕ В ПЛОСКОСТИ
Обращаясь к изучению движения точки в плоскости, мы можем прямо распространить наш метод представления движений на этот случай. Зададимся в плоскости координатами х и у и восстановим ось t перпендикулярно этой плоскости (фиг. 14). Тогда прямая линия в .^-пространстве соответствует прямолинейному и равномерному движению в плоскости ху. Действительно, если спроектировать точки прямой линии, которые соответствуют 32
