Динамическая теория кристаллических решеток - Борн М.
Скачать (прямая ссылка):
TN = ~22Pa.(k), (15.6)
^ ft а
Ф = 12 2 Da3 ('{, к') и>а (к) щ (к'), (15.7)
* kk* а(3
где
представляет собой импульс, канонически сопряженный к wn(k). Заметим, что массы ядер не входят явно в вышеприведенные выражения ; именно в целях достижения этой простоты и введены
динамическая матрица и приведенные смещения.
Координаты wa(k) динамически связаны между собой посредством членов в Ф, содержащих перекрестные произведения. Поэтому введем совокупность новых координат <7,(/ =1,2,..., 3п) с помощью преобразования
q} = 2 2’ еа (к I /) Wa (к). (15.9)
к а
Коэффициенты этого преобразования еа(к J /) определяются следующим образом : рассмотрим систему 3п уравнений
(к) = v v D к>) ер (А«); (15. Ю)
к' Р
где 3п величин еа(к) являются неизвестными, а и2 должно быть определено так, чтобы система уравнений была разрешима. Уравнения эти линейны и однородны ; из известной теоремы алгебры следует, что для разрешимости системы таких уравнений должен быть равен нулю определитель, составленный из их коэффициентов [секулярное уравнение матрицы ; ср (6.14)]:
\Dap(k,k')-w4kk.d^ | = 0. (15.11)
702
Глава 4. Квантовомеханическое обоснование
Это — уравнение степени 3п относительно а2. Обозначим его решения через а), где / = 1,2,, 3п. Для каждого из этих значений а2 (15.10) дает набор величин е„(А), который мы обозначим через еа(к | /); таким образом, а) и соответствующие еа(к [ /) удовлетворяют уравнениям
еа (* I /) = 2 2 D* (к, к') ее (к' | /). (15.12)
и- р
Величины еа(к | /) определяются таким способом не однозначно. Например, умножение всех ejk | /) на общий множитель не влияет на (15.12). С дополнительным произволом в определении еа(к | /) мы сталкиваемся, если некоторые из a2j(j = 1,2,..., 3п) равны друг другу (вырождение). Можно, однако, показать, что набор еи(к I /), совместимый с (15.12), может быть всегда выбран так, чтобы
2' 2’ (к | /) еа (А | j') = djf, ? (к \ /) е„ (к' \ /) = 9^. (15.13)
а J
Действительно, если вырождения нет, то уравнения (15.12) и (15.13) однозначно определяют (3п)2 величин еа(к \ /). Если же вырождение есть, то некоторый произвол в выборе e0(A | /) все еше остается. Но для нашей цели достаточно знать, что всегда существует набор величин еа(к \ j), которые удовлетворяют одновременно уравнениям (15.12) и (15.13). Такой набор (независимо от того, является ли он единственно возможным или одним из многих возможных наборов) может быть использован для определения преобразования (15.9). Величины еа(к \ /) определяют матрицу Зп х Зп с индексами (к, а) й /, каждый из которых пробегает Зп значений. Равенства (15.13) означают просто, что эта матрица несингулярна и ортогональна. Умножая (15.9) на ер(к' \ [) и суммируя по / с использованием (15.13), найдем обратное преобразование
WP {к') = 2 еР (к’ | /) qj. (15.14)
Новые координаты qj называются нормальными координатами.
Нормальные координаты динамически независимы друг от друга. Действительно, с помощью (15.9), (15.14), (15.13) и (15.12) находим, что кинетическая энергия (15.6) и потенциальная энергия (15.7), выраженные через нормальные координаты, принимают вид
1 ур2 (15.15)
2 J’
ф = --- У (О2 П2 (15.16)
2 ^ wj 4j >
J
Pj= ¦г 3 (15.17)
--- ih-к--- .
dqj
? 15. Нормальные координаты
203
В этих выражениях отсутствуют перекрестные члены, содержащие произведения различных нормальных координат.
Волновое уравнение для движения ядер имеет теперь вид
(TN + Ф - в) х = [2 у (Я5 + "? - е} я: = 0. (15.18)
Поскольку гамильтониан TN + Ф представляет собой сумму членов, каждый из которых зависит только от одной координаты, в этом волновом уравнении обычным образом разделяются переменные. Полагая
X = Xi (Qi) Хг Ы ¦ ¦ ¦ Xj %) ---Хэп (Язп), (15.19)
найдем, что (15.18) распадается на уравнения
{1(Я>. + 0)595) - °j]xj(qj) = 0, (15.20)
где в связано с величинами bj соотношением
Зп
в = Дву. Г (15.21)
Уравнение (15.20) представляет собой обычное волновое уравнение для простого гармонического осциллятора с циклической частотой сOj. Допустимое решение характеризуется целым квантовым числом 0. Если обозначить квантовое число для qj через v, - то собственное значение bj может принимать значения
Ej (vi) = (иУ + Y ) h WJ ’ VJ= 0, 1, 2, ... .
