Динамическая теория кристаллических решеток - Борн М.
Скачать (прямая ссылка):
поскольку функции срп можно предположить нормированными на одно и то же постоянное значение для всех значений Хк. Следовательно, Спп не зависит от дифференциального оператора Р; это оператор умножения, являющийся функцией X.
Мы можем теперь записать (VIII. 6) в виде
(Т„ + ип (X) - Е) Vn (X) + ±; Спп. (X, Р) w (X) = О,
(VIII.10)
где штрих у знака суммы означает, что член с п' = п следует опустить. Здесь Uп(Х) определяется выражением
Un(x) = <p„(X) + 2-j^%S- (VIII. 11)
к
Именно эта величина, а не Фп(Х), играет роль потенциальной энергии ядер, если только можно пренебречь связью различных электронных состояний, которая выражается суммой (VIII. 10) с коэффициентами Спп(п' ф п). Разность между Uп(Х) и Фп(Х), определяемая формулой (VIII. II), может быть найдена, если известны электронные собственные функции при закрепленных ядрах1).
Уравнение для движения ядер в предположении пренебрежимо слабой связи имеет вид
(TN + ?in(A:)-?)Vn(*) = 0. (VIII. 12)
J) Изложенный здесь метод был опубликован Борном [Born М., Gott. Nachr. math. phys. Kl., 1 (1951)].
476
Приложения
На вопрос о том, при каких условиях параметры связи Спп¦ будут малы, нельзя ответить в общем виде. Даже если они не очень малы, их влияние будет пренебрежимо малым в том случае, если рассматриваемое электронное состояние п отделено от всех остальных широкой щелью; в сказанном нетрудно убедиться с помощьк. известных формул теории возмущений. Этот случай осуществляется для основного состояния многих молекул и непроводящих кристаллов ; при этом нулевым приближением является негармоническое колебание ядер с потенциальной энергией U0(X), а связь с более высокими электронными состояниями может быть рассчитана, исходя из (VIII. 10) по теории возмущений. Однако для металлов, где электронные состояния образуют квазиконтинуум, сумму в (VIII. 10) нельзя рассматривать, как малое возмущение ; она переходит в соответствующий интеграл, и уравнение (VIII. 10) становится интегро-дифференциальным уравнением, которое строгим образом выражает связь электронного и ядерного движений.
IX. Двойное преломление и оптическое вращение
477
IX. ДВОЙНОЕ ПРЕЛОМЛЕНИЕ И ОПТИЧЕСКОЕ ВРАЩЕНИЕ1)
Основное уравнение [сл1. (44.41) ]
Е= n^r{P-n2s(sP)} (s=-f|) (1Х-0
и дисперсионная формула (44.60)
D« = >'ee(J Е/> + i [Е G]a , (1Х.2)
р
взятые, вместе, полностью описывают оптические свойства кристаллов. В качестве примера кратко рассмотрим явление двойного преломления и оптического вращения.
Преобразуем уравнение (IX. 1) следующим образом. Образуя скалярное произведение s и (IX. 1), имеем
sE = — 47tsP. (IX.3)
Исключая (SP) из (IX. 1) и (IX. 3), получаем
4 л Р = (л2 — 1) Е — л2 s (s Е); (1Х.4)
отсюда
D = Е + 4 л Р = л2 {Е — s (s Е)} . (IX.5)
Далее, из (IX. 5) следует
D s = 0. (IX.6)
Рассмотрим вначале случай, когда вектор гирадии G равен нулю. Если направить оси декартовой системы координат вдоль главных осей симметричного тензора еар, то в рассматриваемом случае (IX. 2) принимает вид
Da = ea?a, (IX.7)
где через с1( е2, е3 обозначены главные диэлектрические постоянные. Деля (IX. 7) и a-компоненту (IX. 5) на е, и л2 соответственно и беря разность результатов, получаем
478
Приложения
Подстановка (IX. 9) в (IX. б) дает
I -р + + Г^Х I (s Е) = 0. (IX. 10)
( П2 па е2 п® е3 j
Из (IX. 5) следует, что при sE, равном нулю, D должно быть параллельно Е. Это имеет место только тогда, когда S направлено вдоль одной из главных осей. Не считая небольшого числа таких частных случаев, справедлива формула Френеля
Ьхх+хгх + хгг} = 0- <|х">
I л2 *1 п* «2 пг Е3 ]
Для заданного направления распространения s (IX. 11) является уравнением второй степени относительно п и дает, вообще говоря, два различных значения показателя преломления. Иными словами, для заданного направления распространения существуют, вообще говоря, оптические волны с двумя различными фазовыми скоростями (двойное преломление).
В кристалле с отличным от нуля вектором гирации G наблюдается явление оптического вращения. Рассмотрим это явление для простого случая, когда вещественный диэлектрический тензор еац изотропен (например, в кристалле с тетраэдральной симметрией). Для этого случая (IX. 2) сводится к
D = е Е + / [Е G]. (IX. 12)
Приравнивая (IX. 5) и (IX. 12), получаем
(п2 — е) Е = п2 s (s Е) + i [Е G] . (IX.13)
