Динамическая теория кристаллических решеток - Борн М.
Скачать (прямая ссылка):
(Я<°> - Ф№) № = - Н$> № - (Я® - ФМ) ф.1) _ (я® - Ф«>) q®,
(VII.1)
(Я<°> - Ф<«)944) = - ?><?> _ (я<« - ф(«) ^2 - (Я« - Ф<?>) ч® -
-W-0M)q%K (VI 1.2)
С другой стороны, соответствующие строгие уравнения для молекулярного движения [см. (14.19)] имеют вид
да - ф?>) v43) = - ^2) - да + //ia) - ?п2)) -
-да-я^)^о), (vi 1.з)
(Я?) - ф(п0)) v44) = - /ф> ^3) - W + - ?'2)) v(n2) -
- да - я<?>)- да - ад v(). (vii.4)
При написании этих уравнений мы учли, что ЕW = О
[см. (14.23), (14.25)].
Согласно (14.29), уравнение второго порядка (14.28) можно записать в виде
да - Ф<«) - *«» <р(» - х(1) 9,(1)} = о. (VI1.5)
Соответствующим общим решением является
Vn2) — Х(0) ?42) — Xw ?п = Х(2) .
где х(0) — функция и, пока совершенно произвольная ; это решение
может быть записано и в другом виде :
Vn2) = Z(u) <Рп:) + Х(1) № + Х(2) <?40) ¦ (VII .6)
Подставим явные выражения для у>(°\ ipty и из формул (14.20), (14.26) и (VII. 6) в уравнение третьего порядка (VII. 3); при этом получим
да - <^0)) № = - Щ» (х° № + Хш <№ + Х(2) №) -
- (Я?> + - ?(п2)) (*(0) ^ + Х(1) №) - (^3) - ?п3)) Z(u) ¦
(VII.7)
х) К стр. 198.
470
Приложения
Из этого уравнения вычитаем уравнение (VII. 1), умноженное на (14.14в), умноженное на ?(1), и (14.146), умноженное на х(2)-Имея в виду, что операторы не действуют на функции от и : Х{0)> Х(1)> X(2)i получаем уравнение
(Н(о0) — фл0)) (Vn3) - Х(0)<Рп3) — Х(1)9>п} ~ Х(2) «Рл0) =
Используя (14.29) и помня, что линейно по и, найдем из (14.16)
(Я® + ФР - ?<?>) *<°> № = № (И? + - ?<?>) z(o) _
Произведение этого выражения на ф(°\ проинтегрированное по электронным координатам, обращается в нуль, если электронные волновые функции <рп(х, X) всегда выбирать вещественными (что возможно в отсутствие магнитного поля). Этот вывод следует из условия нормировки
1 = J [<РП (х, Х)]Чх = J [??» (:х)]« dx + 2xf№ (х) (х, и) dx +
+ *а{2j№{x)№{x,u)dx+$[<Pp{x,u)?dx]i+ ... , (VII. 10)
которое должно выполняться для всех значений к; таким образом, имеем
Вышеуказанный вывод легко проверить путем дифференцирования равенства (VII. 12) по ядерным координатам, обозначенным здесь символически через и.
Условие разрешимости уравнения (VII. 8) получается путем умножения правой части этого уравнения на последующего интегрирования по электронным координатам и приравнивания результата нулю. Используя свойство, доказанное в предыдущем
(М« + - Ел) (*(0) + Х(1) №) - (<^3) - ?л3)) *(0) №.
(VII.8)
(VII.9)
VII. Адиабатическое приближение
471
абзаце, и помня, что фр не зависит от и, найдем, что рассматриваемое условие разрешимости можно записать в виде
{Нр + Фр - ЕР] = - (Фр - Е^) . (VI1.14)
При выполнении этого условия уравнение третьего порядка (VII. 8) принимает вид [см. (VII. 9)]
(Я&0) — ФР) (у(„3) - z(0) <рР — Z(1) <рР — Z(2) =
Следовательно, можно написать
v(p) = z(o) 9,(3) + z(d 9,(2) 4- /2) 9,(1) + z(s) 9,(0) 4- (x, U),
(VII.16)
где F(x, u) — решение неоднородного уравнения
№ - «W F (*¦ ¦“) = f 2 (-ж) (-sr ) (тяг *“)
(VII.17)
является сложной функцией как и, так их; с другой стороны, член х(3)<рп)в (VII. 16) представляет собой общее решение однородного уравнения, причем ^(3) — произвольная функция, и.
После подстановки выражений (14.20), (14.26), (VII. 6) и (VII. 16) для rpW/Vn*, Vn2)n У>Рв уравнение четвертого порядка (VII. 4) можно упростить это уравнение аналогично тому, как это делалось в случае уравнений второго и третьего порядков, а именно, вычитая из него уравнение (VII. 2), умноженное на ^(0), (VII. 1), умноженное на х(1), (14.14в), умноженное на х(2), и (14.146), умноженное на^(3). Таким образом, получаем уравнение четвертого порядка в виде
(HP — Фр) (vP — Х° <рР — У.(1) <рР — № <рР — Z(3) Ч>Р) =
= - F (X, и) - (Я® + Фр - Е&) (х(0) <рР + Х(1) <Р(Р + Z(2) fP) ~
- (Фр - ЕР) № 9>« + Z(D 9,(0)) _ (Фр - ЕР) *«» <Рр. (VII. 18) Соответствующее условие разрешимости имеет вид (Я<2) + Фр - ЕР) + (Ф® - ??)) + (Ф<4) - ^4)) Z(0) =
= - J95п) Я0й) F (X, и) dx — JуР (Нр + Фр - ESP) *«> 9>n2) dx -
+ (VII.19)
где учтена взаимная ортогональность функций <р(„0) и [см. (VII. 12) ].
