Динамическая теория кристаллических решеток - Борн М.
Скачать (прямая ссылка):
2Qal> PM*'), (VI.и)
где, согласно (30.31),
- JT y.mymo ехр {2у (ft) (x(t)-x(f))}, (VI. 12)
30 Макс Борн и Хуан Кунь
466
Приложения
а р(/с') — моменты диполей, расположенных в узлах различных типов.
Рассмотрим решетку с тетраэдральной симметрией, такую, что каждая составляющая решетка Бравэ в отдельности инвариантна относительно некоторой операции тетраэдральной группы. Тогда
величина Qap рассматриваемая как декартов тензор (индексы
а, /5), инвариантна относительно тетраэдральной группы операций. Чтобы в этом убедиться, рассмотрим два следующих альтернативных процесса :
а) Мы вращаем все диполи р(/с'), находящиеся в узлах к', причем каждый в своем узле.
б) Иначе можно представить себе диполи полностью закрепленными в структуре решетки и вращать решетку как целое.
Если решетка к' инвариантна относительно рассматриваемого вращения, то оба альтернативных процесса приводят, очевидно, к совершенно одинаковому окончательному расположению диполей. После процесса «а» внутреннее поле в некотором узле к, создаваемое диполями, расположенными в узлах к', равно
где р\к') описывает диполи после поворота. С другой стороны, процесс «б» просто поворачивает первоначальное внутреннее поле (создаваемое диполями, находящимися в узлах к')
вместе с решеткой, переводя его в Е\ Поскольку внутреннее поле должно быть одинаковым в обоих случаях, имеем
Как видим, формулы (VI. 13) и (VI. 14) идентичны формулам (VI. 1) и (VI. 2), что и показывает инвариантность тензора Qap относительно поворота.
Таким образом, для структур с указанной выше симметрией
(VI. 13)
E'a=2Q«!>{bk)pm-
(VI. 14)
VI. Внутреннее поле в однородно поляризованных кристаллах
467
Используем (VI. 12) в правой части (VI. 15) и возьмем в качестве произвольного параметра R предельное значение R-у 0. Таким образом, сумма по h выпадает и остается
«?)-тй* W)-
00
= —Г e-x'dxll оПЛ (VI. 16)
ЗУл Г rT0*aLl*lJ ЛХ = ЯХ(А)
| X I
Выражая в полярных координатах вектор х и оператор Лапласа
0Я
^ ~дх*' 9
a a
найдем
«(*”•) = 3w Й** •? {^ Уг!т [т I -'И} - *, -(А) г
(VLI7)
Заметим, что по мере постепенного уменьшения R основные вклады в «решеточную» сумму (VI. 17) дают все более далекие точки
решетки (т. е. точки с большими
х
И1). Следовательно, в пределе
R ->0 можно строго заменить эту «решеточную» сумму интегралом. Имея в виду, что на единицу объема приходится 1 /и„ точек решетки, и вводя в качестве переменной интегрирования
Rx (Л) -
найдем
«1й-пЫ‘н*|,Л- (VU8)
Полученный интеграл легко вычисляется в полярных координатах, что дает
= (VU9>
о
Эта формула находится в полном согласии с результатом, полученным в § 9, так как внутреннее поле теперь выражается в виде
= (VI.20)
где выражение в фигурных скобках является, очевидно, «-компо-
нентой диэлектрической поляризации.
30*
468 Приложения
Вообще говоря, для кристаллов с тетраэдральной симметрией различные составляющие решетки Бравэ не обязательно являются инвариантными (каждая в отдельности) относительно операций тетраэдральной группы. Так, подобная операция может перевести узлы к в положения, первоначально занимаемые узлами к'. Для таких кристаллов различные составляющие решетки можно расклассифицировать по группам; члены каждой из групп можно перевести друг в друга с помощью определенных операций тетраэдральной группы. В этом общем случае следует условиться, что составляющие решетки, принадлежащие к одной и той же группе, должны состоять из одинаковых диполей. Легко видеть, что при этом условии получается тот же результат, что и выше. Доказательство остается практически тем же самым; единственная разница
состоит в том, что вместо Qap инвариантным тензором теперь
является сумма по составляющим решеткам одной и той же группы g:
(по группе)
? Hr)'
Эта сумма и заменяет <2°/з(^,}на каждой стадии доказательства, проведенного выше для простого случая.
VII. Адиабатическое приближение 469
УП. АДИАБАТИЧЕСКОЕ ПРИБЛИЖЕНИЕ Ч
Вычисление по адиабатической теории возмущений, проведенное в § 14, будет теперь продолжено вплоть до членов четвертого порядка.
Уравнения адиабатической теории возмущений третьего и четвертого порядков для электронного движения [см. (14.14)] имеют вид
