Динамическая теория кристаллических решеток - Борн М.
Скачать (прямая ссылка):
Поскольку нас не интересуют точные значения частот, заменим эту разрывную функцию плавной, которая определена с помощью непрерывной весовой функции, обозначаемой также через D(x) и определяемой следующими свойствами:
f D (х) dx = А , D (х) 1 при х > Л . (IV.9)
__00 *
Креме того, допустим, что D(x) — функция настолько плавная, что ее компонента Фурье быстро убывает на бесконечности. Напишем
g(r)= 2^- f e~iTai D (со) dco, (IV. 10)
456
Приложения
D(co) = j eir“g(t)dr; (IV. 11)
—‘bo
тогда условие
g(r)<gzl при (IV-12)
совместимо с (IV. 9). Возможный выбор D, например, таков :
D (со) = , g (т) = е-*"!'.
Ясно, что при таком определении D выражение (IV. 8) описывает спектр колебаний, за исключением тонкой структуры, если только А мало по сравнению с максимальной частотой штах-Удобно заменить F(co) функцией
G(co) = F (со) + F (-со) = v {D (ш. _ ш) + D . + . (Iv. 13)
j
Здесь добавочный член D(coj + со) практически пренебрежимо мал для всех частот спектра, кроме самых низких, когда ш ~ А ; действительно, в остальной части спектра, поскольку > 0, -f- со
будет заметно превышать А, и, следовательно, согласно (IV. 9), D(coj + со) будет мало.
Выразим теперь G(co) через компоненту Фурье g(r) функции D(co), подставляя (IV. 11):
оо
G(co) = 2J f dr g(r)[eiaiiT e~i0iT + eitoiT eitor] =
j —OO
ОС
= J dT2g(T)coscoTeim*r. (IV.14) —“ J
Если D(x) четная функция, то и g (т) четно, откуда
?о
G(co) = 4 f drg(r) cos со т 2J cos cojT . (IV.15)
O j
Однако в силу (IV. 12) достаточно включить в интегрирование компоненты Фурье, принадлежащие значениям т, не намного большим, чем l/А, скажем, вплоть до у/А, где у — численная постоянная порядка единицы. Поэтому можно написать
у!Д
G(co) = 4 j drg(T)coswT<?(T), (IV.16)
о
где
ф(г) = 2'coscOjT, т<~г- (IV.17)
Нетрудно показать, что величина Ф (т) имеет простой физический
IV. Апроксимация спектра колебаний
457
смысл. Используя соотношение ортогональности (IV. 4), можем написать
ф(*) = 22”h el /) cos coj г= 2Ф» (**) , (IV. 18)
где
ф“ (л т) = Шк 2 el [I /) cos го,- т . (I V. 19)
Эта величина имеет следующий смысл. Пусть при t = 0 все атомы находятся в своих положениях равновесия, кроме атома сорта к в ячейке I, который смещен на бесконечно малую величину и в направлении а и там отпущен из состояния покоя. Тогда значение
а-координаты этого атома в момент т равно как раз иФа (^т).
Чтобы убедиться в этом, вспомним, что общее решение уравнения движения имеет вид
иа /) = 2 еа /) [Aj cos a)jt + Bj sin toj t], (IV. 20)
где А,- и Bj — произвольные постоянные. Последние можно выразить через начальные положения и скорости всех атомов; так, имеем
Ua[k °) = 2Ajea (k/) ,
aa{lo) = 2^Bjea{lj) , (IV.21)
а эти уравнения можно решить с помощью соотношения ортогональности (IV. 4)
Aj= 2mkua[lo)ea[lj), o>jBj= 2mkiia[lk0)ea(lkj) . (IV.22)
Подставляя это в (IV. 20), получаем Ua(!к*) = 2 еа(‘/) Д е, (?/) тк. [и, [[, о) cos со, / +
+ й/1(к- °) sin *) ¦ (lv-23)
458
Приложения
В том частном случае, когда при t = О атом 10, к0 сдвинут из своего положения равновесия в направлении а0 на величину и и там освобождается без импульса, в то время как все остальные атомы удерживаются в покое в своих положениях равновесия, имеем
иа О) = и дц0 Skka <5„..о, йа (' О) = 0 . (I V.24)
Тогда (IV. 23) сводится к
ч, «) = и тк0 2 /') еа ^ /) cos t. (IV.25)
Сформулированный выше результат получается отсюда, если положить /0 = I, к0 = к, а0 = a, t = т :
Ф)=“Ф)- '(lv-26)
Распределение частот F (со), практически эквивалентное функции G (и), определяется функцией Ф (т); g (т) Ф (т) является компонентой Фурье от G(co), а Ф(т) представляет собой, согласно (IV. 18),
сумму вкладов Фа^т| отдельных частиц. Поэтому теорема, которую
надлежит доказать, сводится к следующим двум утверждениям :
1) каждая функция Фа(?т) Для конечной решетки, дающая существенный вклад в сумму (IV. 18), практически совпадает с соответствующей функцией Ф“ ^г| для бесконечной решетки ;
