Динамическая теория кристаллических решеток - Борн М.
Скачать (прямая ссылка):
Если в эрмитовой матрице изменить элементы г строк и соответствующих им столбцов любым образом, но только так, чтобы матрица осталась эрмитовой, то число корней, лежащих в некотором заданном интервале, не может увеличиться или уменьшиться больше, чем на 2г.
Применение этой теоремы к проблеме кристалла очевидно. Частоты являются корнями эрмитовой (и, более того, симметричной) матрицы [см. (24.4)]. При видоизменении границы кристалла изменяются элементы этой матрицы, представляющие взаимодействие граничных атомов с внутренними. Поскольку каждая координата некоторой частицы соответствует одной строке и одному столбцу матрицы, то это изменение затрагивает конечное число г строк и соответствующих столбцов, а число г для большого кристалла сравнительно мало. Таким образом, изменением распределения частот (2г в любом частотном интервале) можно пренебречь2).
Это рассуждение является строгим, но не совсем простым. Поэтому Пайерлс предложил другое, более простое доказательство3) для наиболее важной части обсуждаемой теоремы. Рассмотрим кусок кристалла, подобный по форме одиночной ячейке и имеющий свободную поверхность ; распределение частот у него практически
‘) К стр. 61.
2) См. примечание на стр. 60. — Прим. ред.
3) См. [2]. Весьма сходная аргументация содержится в более ранней статье того же автора [3], посвященной обоснованию применимости циклического граничного условия при выводе уравнения состояния релятивистского газа.
454
Приложения
такое же, как и у воображаемой решетки той же формы с циклическими граничными условиями.
При этом, конечно, утверждается не тот факт, что нормальные колебания в обоих случаях идентичны, а лишь что распределение частот, т. е. их среднее число в интервале Л а, достаточно большом, чтобы содержать много частот, одинаково в обоих случаях в главном порядке по L, где L — линейный размер кристалла в единицах постоянной решетки.
Для простоты в дальнейшем принимается, что решетка обладает кубической симметрией и форма ячейки и всего кристалла кубическая. Доказательство легко можно было бы освободить от этих ограничений за счет небольшого усложнения обозначений.
Идея доказательства состоит в том, чтобы показать связь между распределением частот и распространением возмущений через кристалл. В частности, зная закон распространения- возмущений за времена вплоть до некоторого момента т, можно однозначно определить распределение частот, за исключением его тонкой структуры, относящейся к интервалам частот меньшим, чем 1/т. Возмущение, исходящее из точки на расстоянии d от ближайшей поверхности, будет распространяться так же, как в бесконечном кристалле, в течение промежутка времени меньшего, чем d/c, где с — максимальная скорость звука, равная по порядку величины 105 см/сек. Следовательно, для размеров кристалла порядка 1 см d/c будет порядка 10_5 сек и заведомо больше 10“10 сек практически для всего кристалла. Отсюда следует, что за такие промежутки времени распространение возмущений одинаково в реальном и воображаемом кристаллах. Следовательно, одинаково также и распределение частот, за исключением осцилляций в интервалах частот порядка Ю10 сек~г (или, в спектроскопической терминологии, около 0,3 см~г).
Обозначим число ячеек вдоль ребра рассматриваемого кубического кристалла через L, так что индексы ячейки /(/1; /2, /3) ограничены интервалом
1 </.<L (а =1,2,3). (IV. 1)
Число частиц в ячейке обозначим, как и ранее, через п, так что
1 <?<л. (IV.2)
Существует набор нормальных координат q^t)1), связанных со смещениями u,j линейными соотношениями
Ц* 0 = -2 *«(,?/)?; (О, (IV.3)
*) Более подробные обозначения, использованные в § 38, здесь не обязательны.
IV. Апроксимация спектра колебаний
455
где величины е„ /j удовлетворяют соотношениям ортогональности
2 е° (fc /) е° (* /') тк = 6И'' (IV-4)
а индекс / заключен в интервале
1 < / < 3 п L?. (IV.5)
Каждая нормальная координата qj(f) удовлетворяет дифференциальному уравнению второго порядка для осциллятора ijj+coijqJ=0. Это уравнение имеет два независимых решения
(i4,-coscuif,
4i = L‘ ¦ V (IV-6)
1 IBjSincojt,
из которых путем подстановки в (IV. 3) можно получить смещения
Векторы е и частоты coj находятся из уравнений движения,
а постоянные Aj, В} — из начальных условий.
Чтобы представить распределение частот, определим функцию
D(x) =
1 при i х! < Vjs Л ,
(IV. 7)
О при х i > ^ •
Тогда число частот в интервале со + V2 Л, а — х12 Л равно
F(co) = ? D{a)j-со). (IV.8)
j
