Динамическая теория кристаллических решеток - Борн М.
Скачать (прямая ссылка):
где
а (“) = 2” ехр {— (1\ + 1\ + /§) и) = { 2’ ехр (— /2 и)}3 — 1 .
i г= - °°
(III.6)
Вводя одну из е-функций, хорошо известную из теории эллиптических функций, а именно 03(О, q) = e3(q), имеем
a(u) = [03(e-")]3-1 . (111.7)
Функция 03 может быть представлена в виде быстро сходящегося степенного ряда
в3 (q) =1+2 q + 2 ql + 2 q9 + ... (111.8)
и удовлетворяет закону преобразования
03(e--e) = -L03Or^). (I П.9)
rP
*) В работе [1] даны явные выражения для верхнего и нижнего пределов ошибки, совершаемой при выборе определенного радиуса R.
а) Этот метод, принадлежащий Эрдели и Борну, опубликован в статье Мизры [1].
III. Вычисление простых «решеточных* сумм
451
Тогда (III. 5) можно записать в виде
где
п Г{т + 1) Sm ’ т ~ 2 П 1 >
Sm= |Г{(03(^))3- 1 )dfi.
(III.10)
(111.11)
Для получения быстрой сходимости разобьем этот интеграл на две части : первую — от 0 до I, вторую — от I до °о. В первой части используем «-преобразование (III. 9) и заменим /3 на 1//S ; при этом получим интервал интегрирования от I до «з, так что
sm= I Г {[бз (е-^)]3- 1 }dP +
т + 1
(III.12)
Из (III. 8) получаем степенной ряд
[0а (<7)]3 = 1 “г 6? + 12?2 + 8?3 + Ь? + ... (III.13) Определим функцию
св
fcW = J>e-*xdjS. (111.14)
1
Подставляя (III. 13) в (III. 12) и интегрируя почленно, получаем «т = 6<рт (я) + 12<рт (2я) + 8<рт (Зя) + б<рт (4л) + ...
+ ТгГГЛд + Ь<р~ m - и (я) + 12(р-т - + 895 -m - V» (37Г) +
+ 693_m_,,;(47r)+ ... - -4гу- (IIT.15)
Функции tpm(x) удовлетворяют рекуррентной формуле
4>т W = ^-+-- <Рт- lM
([II.16)
и для т = 0, —1/2, — I сводятся к хорошо известным табулированным функциям
P-!iW = |(1 - Ф(Х)) | ’ <p-i(x)= ~ Ei(-X) I
(111.17)
29*
452
Приложений
где Ф (х) — гауссова функция ошибок, a Ei(x) — интегральный логарифм. Из этих трех функций (III. 17) можно с помощью (III. 16) получить все остальные функции для т = О, ± 1/г> ± 1) ¦ • ¦
Таблица значений функции ipm(x) для аргументов, входящих в (III. 15), приведена в статье Мизры [1].
Изложенный метод легко можно обобщить на другие «решеточные» суммы, например на сумму вида
где п, пг, п2, п3 — целые числа, а также и на другие типы решеток. Для гранецентрированной и объемноцентрированной кубических решеток можно использовать комбинации о-функций 02 и а3 и их производных.
Еще более общим типом «решеточной» суммы является
где (у1; уа, уд) — точка обратного пространства. Этот тип сумм рассмотрели Борн и Брэдбери [2 ] с помощью метода о-функции, причем для некоторых простых случаев были составлены таблицы.
1. Mis г a R. Dh., Proc. Cambr. Phil. Soc., 36, 173 (1940).
2. Born М., Bradburn Mary, Proc. Carabr. Phil. Soc., 39, 104 (1942).
*a___________
Ui + 4 + ’
____fi—2ni (I i Vj -f ^ 2 У a + I a Va)
\ и n c
ЛИТЕРАТУРА
IV. Апроксимация спектра колебании 453
IV. АПРОКСИМАЦИЯ СПЕКТРА КОЛЕБАНИЙ С ПОМОЩЬЮ ЦИКЛИЧЕСКОГО ГРАНИЧНОГО УСЛОВИЯ Ч
Теорема о том, что распределение частот колебаний большой кристаллической решетки произвольной формы приближенно совпадает с распределением частот колебаний воображаемой решетки с циклическими граничными условиями, подверглась нападкам со стороны Рамана и его школы. Подчеркивая тот факт, что у кристаллов число наблюдаемых линий поглощения и рамановских линий мало, эти авторы отвергают существующую теорию, которая приводит к практически непрерывному спектру колебаний, и объясняют малое число оптически наблюдаемых частот правилами отбора, основанными на конкретных физических причинах. Хотя теория Рамана противоречит законам как классической, так и квантовой механики, однако представляется не лишним показать ошибочность основного его возражения против существующей теории, направленного против применимости циклического граничного условия.
Строгое и общее доказательство этой теоремы дал Ледерман [1 ], который свел ее к алгебраической проблеме о корнях характеристического детерминанта. Доказывается следующая алгебраическая теорема :
