Динамическая теория кристаллических решеток - Борн М.
Скачать (прямая ссылка):
единицы. Для заданной структуры объем ячейки va пропорционален третьей степени г
va = sr*, (11.14)
где s — безразмерная постоянная. Выражая R и va через г, при
448
Приложения
водим (II. 12) к виду
X ехр{2я/у (/i)(х(ft) - х(ft'))} (ГГ-15)
<л к
В таком виде это выражение совершенно не зависит от абсолютных размеров решетки ; при соответствующем выборе с его можно вычислить без особого труда.
Метод, применявшийся первоначально Маделунгом [3], и другие общие методы вычисления электростатической энергии рассмотрены Борном [4] и Борном и Гепперт-Майер [5]1).
Ниже в таблице приведены постоянные Маделунга для некоторых обычных ионных структур:
CsCl NaCl ZnS CaF, TiOi Си,0
(цинковая (флюорит) (рутил) (закись
обманка) меди)
а’ 1,7627 1,7476 1,6381 5,0387 4,82 4,1155
а• 2,0354 3,4951 3,7829 11,6365 (Не куби 9,5044
ческая)
Эти постоянные даны для кубических решеток в двух различных модификациях, введенных в § 1. Так, если г и d обозначают соответственно ближайшее расстояние между двумя ионами и постоянную решетки, то электростатическая энергия, отнесенная к одной ячейке, равна
_а:М!_ = У (ге)’_ (Плб)
ЛИТЕРАТУРА
1. Ewald P. P., Ann. d. Phys., 54, 519 (1917).
2. Е w a 1 d P. P., Ann. d. Phys., 64, 253 (1921).
3. Madelung, Phys. Zs., 19, 524 (1918).
4. Born М., Atomtheorie des festen Zustandes, Berlin, 1923. (см. перевод в книге Борн М., Гепперт-Майер М., Теория твердого тела, М.—Л., 1938).
5. Born М., Goppert-Mayer М., Handb. d. Phys., 24,708 (1933) (см. перевод: Борн М., Гепперт-Майер М., Теория твердого тела, М.—Л., 1938.)
6. Е m е г s 1 е b е п О., Math. Nachr., 9, 221 (1953).
*) Более поздние работы перечислены в статье Эмерслебена [6].
111. Вычисление простых чрешеточных>> сумм
449
III. ВЫЧИСЛЕНИЕ ПРОСТЫХ «РЕШЕТОЧНЫХ» СУММ1)
Простой способ вычисления суммы
распространенной по простой решетке, состоит в прямом суммировании вкладов, вносимых точками решетки х(/), расположенными внутри сферы некоторого радиуса R, и в замене суммирования по точкам за пределами этой сферы интегрированием.
Однако, как мы сейчас увидим, производить интегрирование просто по пространству, лежащему вне сферы радиуса R, нежелательно. Предполагая, что внутри этой сферы имеется N точек [считая также точку х(/) =0], следует произвести интегрирование за пределами некоторого радиуса д, который выбирается следующим образом. Если va — объем ячейки, то средняя плотность точек решетки равна \jva\ д выбирается равным радиусу сферы, содержащей ровно N таких точек. Другими словами, д должно определяться из соотношения
Используя при интегрировании этот радиус, имеем приближенно
Невыгодность использования R непосредственно в качестве нижнего предела интегрирования вполне очевидна. Действительно, точки решетки можно обычно подразделить на ряд сферических оболочек. Для двух значений R, выбранных непосредственно внутри и вне такой оболочки, соответствующие интегралы не отличаются заметно, если их вычислять непосредственно от R вовне, хотя приближенные значения, получаемые в обоих случаях, должны различаться на величину полного вклада точек, лежащих в самой рассматриваемой оболочке. В предложенном выше методе различие в числе точек, включаемых в прямое суммирование, соответствующим образом компенсируется выбором предела интегрирования д.
Очевидно, что точность формулы (III. 3) возрастает с ростом радиуса R (или числа N). Представление о величине ошибки можно
J) К стр. 36.
(II 1.2)
9
(III .3)
29 Макс Борн и Хуан Кунь
450
Приложения
получить, наблюдая изменение вычисленного значения Sn при изменении значения R1).
Этот простой метод, очевидно, полезен при больших п. Другой метод, применимый при всех п вплоть до п = 4 (сверху), основан на формуле 0-преобразования, но в несколько ином виде, чем метод Эвальда (см. Приложение II) для вычисления электростатических «решеточных» сумм2). Поясним этот метод на примере суммы (III. 1), распространенной по простой кубической решетке.
С помощью известной формулы
- Уг п
г I:
( е-'гииу>п-1<1и (III.4)
(тп)«Г
можно представить «решеточную» сумму (III. 1) в виде интеграла
2 (ii + ft + iiyun гс\ ( ' I и‘1П 1(T(u)du> (II 1.5)
