Динамическая теория кристаллических решеток - Борн М.
Скачать (прямая ссылка):
(а а ~а Л
[2’ 2 * ~1TJ
( —а а а \
\2Г' Т' 2~]
(т- »¦ 1) (». I- 4) (4- 4-»)
К-Г-т) (f »• 1) (т- f о)
(-2-44)
j1 11
V а 1 а 3 а)
1.1 1 j=n
{ а 1 a J а )
п. к.
Г. ц. к.
О. Ц. к.
II. Энергия Маделунга
445
II. ЭНЕРГИЯ МАДЕЛУНГА1)
Рассмотрим структуру решетки общего типа, в узлах которой находятся точечные заряды. Пусть заряды в узлах к, измеренные в единицах наименьшего заряда в решетке ze, равны Чтобы ячейки были электрически нейтральны, должно быть
2'?* = 0. (II. 1)
к
Электростатическая энергия, приходящаяся на одну ячейку, может быть записана в виде
(II- 2)
где г — расстояние между ближайшими узлами, а постоянная Маделунга а! равна «решеточной» сумме
_1 ^ ri.ki.ki
2
Как указывает штрих у знака суммы, она не содержит членов с
(Я-0-
Приведенная выше сумма может быть превращена в быстро сходящийся ряд методом преобразования тэта-функции, изложенным в § 30. Рассмотрим функцию
F(x)=2-------(п-4)
VW
:0
С помощью этой функции можно записать постоянную Маделунга в виде
(,L5)
Функцию F(\) можно выразить через интегралы [см. (30.11) ]2)
f(x)= [ \^=^^'ехр [- j * (У - х|2 Р2] Ue- (п-6)
q [ ' 1'кГ )
х) К стр. 17.
г) Относительно перестановки порядка суммирования и интегрирования см. работы [1,2].
446
Приложения
В формуле (30.16) преобразования тэта-функции положим у = О и заменим х на х — x(ft'). Умножая затем эту формулу на fk< и суммируя по к', получаем
ехр н *(;;.)=
^ 2 &• 2’-^ “р {- -51 у (ч .*+г»; у т [х - * №¦)]!, о 1. 7> к* h '
«о
где член h = 0 может быть опущен (на это указывает штрих), согласно (11. 1). Подразделяя интеграл в (11.6) и используя два различных выражения подынтегрального выражения, определяемые соответственно левой и правой частями (11. 7), получаем F(x) в виде
00
F « - J jl%- 2 ft. ¦ “р [ - j * С-) -:11’ 1 }'+
R R
+
0
~2 ^ 2 7>- exP [_ у-* у (Л) i2 +2niу (Л) Iх - x(*')]]jd9 ¦
(11.8)
После подстановки (11. 8) в (11. 5) постоянная Маделунга принимает вид [см. (30.18)]
а' = У- ? гSk lim j R v (fli х П - x ) +
“ к I VW K ’
+ 2 & 2 G exP № У (Л) (* - * (Щ -
Sk
X (к) - X, '
(11.9)
3a исключением последнего члена и члена , все члены
в (11.9) являются регулярными функциями от х в окрестности х(/с). В этих членах можно непосредственно положить х равным x(ft), что дает
1'кГк 1
+ 2^22' ГЬ G () ехр [2т у (h) (х (к) - х (ft'))] +
кк' h
+ ^2Г® ;W-V:r <"¦ 10>
к *->х (к)
II. Энергия Маделунга
447
Значение последнего члена можно легко найти следующим образом :
со
lim ----1-} = Jim-jl-i { J
/я
2
ЯС
RC
о
RC
2 R
V тг
Поэтому (II. 10) сводится к
dx =
кк'
х exp[27tiy(h)(x(k)-x(k'))]-^L 2r?2k. (11.12)
“71 к
Произвольный параметр R имеет размерность обратной длины, поэтому можно положить
Я = (П.13)
где с безразмерное число. Для быстрой сходимости обоих рядов
в (II. 12) в качестве с обычно выбирается небольшое число порядка
