Динамическая теория кристаллических решеток - Борн М.
Скачать (прямая ссылка):
Дифференцируя тензорное (матричное) тождество
е-1 ? = 1 (50.12)
и умножая результат на е0 слева, получаем в первом приближении
де = — е0д е-1е0 . (50.13)
Следовательно, можно выразить (50.10) иначе
= , (50.14)
УП аХг>
где
кар,уц = (со)а/' Pf'vI Уц (К0):,5 ' (50. 15)
Поскольку мы будем рассматривать только упругие деформации, то можно выразить и через комплексные нормальные координаты
Q(J) (/ = 1, 2, 3) акустических колебаний :
u(x) = |N2’^ 1/2 Jjh $<?$г2я,ух, (50.16)
где е (Jj—единичный вектор поляризации упругих волн, принадлежащих к ветви / и распространяющихся в направлении у. [Напомним, что упругие волны тождественны акустическим колебаниям
i' 50. Бриллюэновские компоненты теплового рассеяния света
435
нулевого порядка. Таким образом, векторы поляризации е (fc из § 38 сводятся к
т«(-2т«Г”е(/)'
где множитель, содержащий массы, необходим для соблюденийя соотношений ортонормированности (38.25).] Для удобства дальнейшего рассмотрения запишем (50.16) в интегральной форме
( I-1,2 3
u(x) = 2 vJe(/) Q(J)e2jw'yxrfy =
-(тГ/§КК)е‘''’','у’ (50Л7)
где р — массовая плотность. Подставляя (50.17) в (50.14), а полученное соотношение — в (50.9), найдем
Щ = (т„ )* = 4- fv] " 2Ejkep,n х
“ V У / РуГ)
X ? J \еу (?) у„ Q(J]| ехр \bt i + у) х] dx [ dy . (50.18)
J 1" ' у
Заменяя интеграл по х 6-функцией Дирака б (у — Sj/^0), получаем окончательно соотношение
т~ = Ш* = (-?-)2 EJ ка?<Уп 2 Ь (*д1;э) sen Q (S“f), (50.19)
где S;,; (г/ = 1, 2, 3) — компоненты вектора s;;.
Произведенные выше замены суммирования по у интегралом в (50.17), а интеграла по х — б-функцией в (50.18) допустимы, строго говоря, лишь в том случае, если кристалл бесконечно велик. Для конечного кристалла суммирование по у ограничивает рассеяние определенными дискретными направлениями, а конечный интеграл по х приводит к уширению каждого из этих направлений рассеяния. До тех пор, пока такие тонкости рассеяния (при углах ~ /./размер кристалла) не поддаются разрешению, можно пользоваться вышеприведенными результатами.
Выражая комплексные координаты через вещественные нормальные координаты первого рода, можем записать (50.19) в виде
щ; = (т.)• = -J- (¦?)'“22е.,<0 ?.(”f) - Ч. ff )j ЕТ, (50.20)
e.j(fl= (¦"'?•) s.,. (50.21)
где
74
28*
436
Глава 7. Оптические эффекты
Если п1, п2 — два взаимно перпендикулярных единичных вектора, оба перпендикулярные к s, то интенсивность рамановского рассеяния в единицу телесного угла равна [см. (19.8)]
2
2 2 К n‘f>< v | т?\ V > < V' \ mj \ v > . (50.22)
с" (=1 а0
Поскольку (50.20) линейно относительно нормальных координат, то отличны от нуля только матричные элементы для переходов первого порядка, и соответственно (50.22) описывает рамановское рассеяние только первого порядка. Для рассеяния в направлении
s частоты переходов равны, очевидно, ± ш (/= 1, 2, 3).
Другими словами, спектр рассеянного света должен состоять из шести линий со следующими круговыми частотами :
® ± о» (§в^®) = Ш ± 4^ Cj(se) = со {l ± sin |j , (50.23)
где введены фазовые скорости c;(so) (/ = 1, 2,3) упругих волн, распространяющихся в направлении Se. Таким образом, относительное изменение частоты очень мало ; по порядку величины оно равно отношению скоростей упругих волн к скорости света. Заметим, что каждая из этих линий возникает за счет двух отдельных переходов, соответствующих двум координатам
*(*/•) И
С помощью (21.8) непосредственно находим, что тепловое среднее от произведения соответствующих матричных элементов перехода имеет следующий вид:
{< v j т; ] V' > < V' \ mj ] v > }ср. со„.
(у) jr 2 (/) gur, (j) Еу Е-
Cpe/Vj -/’('fe)
c(‘f) <50-24)
Поскольку длина волны Хв — порядка Ю-4 10_3 см, а скорость
упругих волн—порядка Ю5 Ю6 см/сек, то рассматриваемые колебательные кванты, а именно A<a(Se/;*e), весьма малы по сравнению
с кТ практически при любой температуре. Таким образом, приближенно имеем
С fsef) e-^m ~ С (se/;e) ~ *Т..- = . (50.25)
\ I J У I ) 8 Л С1Ы 4 '
§ 50. Бриллюэновские компоненты теплового рассеяния света 437
Подставляя (50.24) и (50.25) в (50.22) и имея в виду, что каждый переход в действительности является двойным [он связан соответственно с q1 и q2 в (50.20)], находим, что интенсивность рассеяния в единицу телесного угла для каждой данной бриллюэновской компоненты выражается формулой
