Динамическая теория кристаллических решеток - Борн М.
Скачать (прямая ссылка):
V /*•»<”*> (Г) (Й& _ йОя) = _ {/7<«Д(7) _ /**>(())} _
- V {/TWO о*> (Г) - <*> (0)} й°„. (43.19)
у*
Поскольку правая часть при Т = 0 стремится к нулю, как Т\ тогда как коэффициенты F^a^'A\T) в левой части стремятся к конечным пределам, разность Ujk — должна изменяться при очень низких температурах, как Т4.
Имея в виду это обстоятельство и подставляя свободную энергию
(41.36) в (37.32), (37.38), (37.39) и (37.46), непосредственно убеждаемся, что зависящие от температуры части величин Рпир°, сау,рхг вр,ау и аар изменяются при очень низких температурах, как Т4. Как легко проверить, то же справедливо для всех прочих коэффициентов, описывающих механические и электрические свойства кристалла [см. (37.52)—(37.54)].
Глава 7
ОПТИЧЕСКИЕ ЭФФЕКТЫ
§ 44. Микроскопическая теория дисперсии
Теории дисперсии, рассмотренные в предыдущих главах (см. § 7— 9 и § 33—35), частично основаны на феноменологических соображениях. Мы принимали макроскопические уравнения Максвелла как данные и использовали микроскопические модели лишь постольку, поскольку они необходимы для вывода дисперсионной формулы. Изл'ожим теперь микроскопическую теорию, в рамках которой оказывается возможным последовательное рассмотрение оптических волн без помощи макроскопических уравнений Максвелла для диэлектрических сред.
В феноменологической теории, изложенной в § 8, рассмотрение колебаний решетки естественным образом приводило к оптическим волнам и к их закону дисперсии. В гл. 5 рассматривались колебания ионных решеток в предположении, что ионы взаимодействуют посредством незапаздывающих кулоновских сил. Можно построить микроскопическую теорию дисперсии, если учесть запаздывание электрического взаимодействия. Таким образом, нижеследующее рассмотрение по существу есть пересмотр теории колебаний решетки, изложенной в гл. 5. Для простоты будем пользоваться моделью жесткого иона, как и в § 31.
В микроскопической теории макроскопические уравнения Максвелла заменяются уравнениями Максвелла—Лорентца
Заметим, что поля здесь являются уже не макроскопическими величинами, а величинами, значения которых определены в каждой точке пространства. Чтобы ясно понять связь между настоящим рассмотрением и теорией колебаний решетки, изложенной в гл. 5,
div Е = 4лд, div Н = 0 ,
rot Н = 1 (Ё + 4лд v), rot Е = - — Н .
С
(44.1)
(44.2)
(44.3)
(44.4)
§ 44. Микроскопическая теория дисперсии
379
разложим векторные функции Е, Н и (р v) на их безвихревую и соленоидальную части :
Е = Е" + Е1, (44.5)
Н = Н11 -I- Н1, (44.6)
pv = (pv)!l + (pv)1, (44.7)
где
rot El! = rot Н" = rot (pv);i = 0, (44.8)
div E1 = div H1 = div(pv)-1 = 0. (44.9)
Если безвихревой вектор разложен на плоские волны, то все эти волны являются продольными; напротив, все плосковолновые компоненты соленоидального вектора поперечны. Поэтому безвихревая и соленоидальная части электромагнитного поля называются соответственно продольным и поперечным полями. Покажем вначале, что использование незапаздывающего кулоновского взаимодействия эквивалентно пренебрежению поперечным электромагнитным полем.
Из (44.2) следует, что магнг. п;ое поле соленоидально ; иными словами,
Н1!=0. (44.10)
Поэтому уравнения (44.1) н (44.4) сводятся к
div Е 1 ='4тгр, (44.11)
rot Е1 = — у Н1. (44.12)
Кроме того, поскольку ротор любого вектора соленоидален, то. разбивая уравнение (44.3) на его безвихревую и соленоидальную части, найдем
0 = Ё! +4тг(Ру)1,? (44.13)
rot Н = “ (Ё1 -f 47r(<?v)L). (44.14)
Учитывая безвихревой характер Е , замечаем, что (44.11) тожде-
ственно уравнению электростатики. Из известного результата теории потенциала следует, что
Е'; = grad J :*х~ г dx'. (44.15)
Таким образом, Е11 описывает мгновенное (или незапаздывающее) кулоновское поле, создаваемое распределением заряда.
380
Глава 7. Оптические эффекты
Уравнение (44.13) оказывается по существу излишним,- если учесть уравнение непрерывности
— д = div (pv) = div (pv)1 . (44.16)
Дело в том, что благодаря безвихревому характеру (gv) [ можно
еще раз использовать приведенный выше результат теории потен-
циала и переписать (44.16) в виде
(gv):i = ~ 4"gradJ Тх>(-х| dx' • (44.17)
