Динамическая теория кристаллических решеток - Борн М.
Скачать (прямая ссылка):
Во всех случаях функция К{у) является комбинацией коэффициентов второго порядка
Ма(/7)’ Ф(,ф) (-/ 7) ’ M°.w(i/7y)и т-д-
Согласно § 39, эти коэффициенты являются в основном коэффициентами разложения величин
(«.Ю)
по параметрам ua/J, определяющим однородно деформированную конфигурацию. Покажем теперь, что величины (43.10), будучи выражены в виде рядов типа (43.7), не содержат членов нулевого порядка, если /',/'= 1,2,3 (акустические ветви), и что, кроме того, при / = /' обращаются в нуль также члены первого порядка. Рассмотрим, например, Фяеф ^ ; по определению,
Фдеф р “У] =
= Ф«Т Ikk-hmh'W е"(/'/) e*ik' Гг)ехр 2я/ух(п] •
(43.11)
Как отмечалось в "§38, векторы поляризации ejfc J У j отличаются
от решепий’ш (ft , рассмотренных в предыдущей главе (см. § 26), по существу только фазовым множителем ехр [2 7t zyx(fc)]. Таким образом, если считать решения w j соответствующим образом
§ 43. Закон Tl
375
нормированными, то (43.11) можно записать в виде
ф”* (17) -= 2’ ДР«П5ЯГ(*¦ 17) х
х ехр {2я/у [х (А) — х (*-)]}¦ (43.12)
Для /, /' = 1, 2, 3 из (26.14) следует, что при у->-0 вдоль фиксированного направления (О, ф)
w (ft j J j w<u> (ft i J) = К т>; u; (0>93). (43-13)
где и;(0, дз) — вектор, не зависящий от индекса базиса к. Отсюда
Поскольку рассматриваемая деформированная конфигурация представляет собой идеальную решетку, то соотношение инвариантности (23.14), полученное из трансляционной инвариантности, справедливо также и для деформированной конфигурации, т. е.
= (43-15)
Отсюда следует, что
lim Фдеф (J = 0. (43.16)
В действительности, поскольку индекс к не суммируется в (43.15), очевидно, что (43.16) справедливо, если только один из индексов / или /' относится к акустической ветви.
Если решение w (к J J j для акустической ветви разложить в ряд
вида (43.7), то все нечетные члены ряда будут мнимыми, а все четные— вещественными. Это непосредственно видно из эквивалентного разложения (26.10), так как все уравнения теории возмущений вещественны. То же самое, очевидно, справедливо и для экспоненциального множителя в (43.12), а следовательно, и для Фдеф ^ ;
таким образом, будучи разложенным в ряд типа (43.7), фде*р
376
Глава 6. Свободная энергия
имеет мнимые нечетные члены и вещественные четные члены. С другой стороны, мы видели в § 39, что
ф». (У-у) = (-УУ) = [*«. (-.УУ)]* . (43.17)
Полагая / == /' в (43.17), убеждаемся, что Фдеф (у у) всегда должно быть вещественным. Это имеет место для всех значений у, и, следовательно, нечетные члены в разложении Фдеф (X у) должны быть равны нулю.
Поскольку для Л1деф (у yj и имеются соотношения,
в точности аналогичные (43.15) и (43.17), то выводы, аналогичные вышеприведенному, справедливы также и в случаях Л1деф (у. .,у)
и Q yj. Кроме того, поскольку эти выводы справедливы для
любой однородно деформированной конфигурации, они могут быть непосредственно распространены на коэффициенты второго порядка
(/ f'),(^(o^(-/ J-) и т- д-> котоРые> как указывалось выше,
являются коэффициентами разложения величин Л1деф (у у) ,
Фдеф (X у) и т. д. по параметрам деформации иа/3. Поэтому после разложения в ряд вида (43.7) коэффициенты второго порядка
ф«>(:п), м-<«(:П) ит-д-
начинаются, вообще говоря, с членов второго порядка по у, в то время как коэффициенты с / ф /'
Ма (/ ~f') ’ Ф(аЮ (-/ г) ’ (ij и т. д.
начинаются с членов первого порядка по у.
В (43.1) выражения F“(T)— Fa(0) и F(a/,)(T)— F(afl)(0) равны каждое интегралу вида (43.5), в котором функция К(у) начинается с членов второго порядка относительно у. Поэтому оба эти выражения изменяются при очень низких температурах, как Г4. Кроме членов такого вида, каждое из выражений FW\T) —F(ofl(0), Fa(M(T) — FaWy)(0) и F(aS)(?;)(T) — F(a^)(y;)(0) содержит еще три интеграла. Два из этих интегралов имеют вид (43.5), причем в обоих функция К{у) начинается с членов второго порядка по у. Последний из интегралов имеет вид (43.6), но функция К(у) начинается с членов четвертого порядка по у. Поэтому все эти интегралы изменяются при очень низких температурах, как Г4.
§ 43. Закон Tl
377
Таким образом, несмотря на весьма различные структуры отдельных коэффициентов в выражении свободной энергии, при очень низких температурах их зависящие от температуры части все изменяются, _как четвертая степень абсолютной температуры.
Полагая Ё = 0 в (41.36) и минимизируя F по параметрам деформации, получаем соотношения
/г с« (Г) + v /г(«яс*> (Т) uj,x = 0, (43.18)
¦А
которые определяют компоненты тепловой деформации й^р- Вычитая из (43.18) те же соотношения для Т — 0, можно записать получающуюся разность в виде
