Динамическая теория кристаллических решеток - Борн М.
Скачать (прямая ссылка):
Исследуем характер температурной зависимости коэффициентов свободной энергии (41.38) в пределе низких температур. Вычитая из этих коэффициентов их соответствующие предельные значения при 7 = 0, получаем
§ 43. Закон Т4
371
F«{T) - F»'(0) = - (/ /У) +
+ din M- (J 7) M‘ (I "4 i ^ - dk! "y +
2„!0 ,,}r +т^2''.|'КГЯ^(7П +
+ЛЧ7/-)ЧУ?
?2 (У
2co
со2 к I — со2 №
dy
1_
2k T
ла
4cu2(y | W
/ММ (T) - F“<™ (0) = - ^ JK,W (_ J /) -
2w217
^ *. Г/) (:r/)| p(j) - -
12'2-'1КГЯ^>(:79 +
J J
?s iy] - —* W 2» ?
+ M.( j^) *«,)(_? «([ „.(J) _„.(?)
+ 1Гi2j«.r,')»»)(T’
dy +
Л2
?2 (JJ J 4 aj2fy
vrl
Ы^СО-^ЧО)},
24*
372
Глава 6. Свободная энергия
р(аР)(.'А) (7) _ pWW>) (0) = 2
?J{*<•»« (:: -J Я - ^ *«> (7 7) *-> (7 7) *
М?)-
>** +
«¦«>(: 7/-)Фы>(77)!
0
Н)
1
2кТ
”!й-
^1М77)М77)!
„2 ГУ
dy-
Л2
,dy-
4 ш2 (/)
- <5„у {F(W (Т) - (0)} , (43.1)
где мы использовали то обстоятельство (очевидное из последующего рассмотрения), что интегралы, содержащие множитель
2 _ _________
4“!Ю ’
обращаются в нуль быстрее, чем Т, в пределе низких температур. Разности (43.1) выражают части коэффициентов, зависящие от температуры ; эти разности зависят, как видим, только от динамических членов. Интегралы, входящие в (43.1), содержат один из следующих зависящих от температуры множителей
h
2. со
2e-bo:J2kT
И2 -
пг
2 ш ehal2kT
Кг
e -h:42kT ’
4
4а>* 4<и' [е'Ы2*Т_г-*»/2*Т]2-
(43.2)
(43.3)
При ha больших по сравнению с кТ, оба эти множителя быстро (в основном экспоненциально) спадают с увеличением частоты. Поскольку для всех ветвей, кроме акустических (/ = 1, 2, 3), частоты
'у ' имеют конечные нижние пределы, то для достаточно низких
§ 43. Закон Г1
373
температур необходимо рассмотреть только вклады, вносимые низкочастотными частями акустических ветвей, иными словами, вклады, вносимые длинноволновыми акустическими колебаниями. Для этих колебаний можно написать
ш (у) =2лCj(6,<p)y , (43.4)
где (у, б, <р) — полярные координаты вектора у, a cv(fl, <р) — скорость упругих волн, принадлежащих к ветви / и бегущих в направлении (б, <р). Таким образом, все интегралы в (43.1), существенные в пределе низких температур, могут быть записаны в одном из следующих видов:
2 л п
J d<p \ sin б dQ J у3 йу К (у) у-~-^ х
ехр[-^Ч
ехРр-^ ] ~ехР[ - VhC{°,(P)
(43.5)
2k Т
2 я
т J dcp J sin 0d0 JУ2йУ к(У) ус»!О,у)"
1
1
Г, (43.6)
где К{у) — произвольная функция у. Верхний предел интегрирования по у не может быть четко определен ; но во всех тех случаях, когда температура достаточно низка, чтобы можно было пренебречь всеми колебаниями, кроме длинноволновых акустических колебаний, точное значение верхнего предела несущественно и можно положить его равным бесконечности (ср. рассмотрение закона Т3 в § б). Представим К(у) в виде следующего ряда по степеням у:
К(у)=К0{в,Ч>) + К1{в,<р)у + |К3(6,9’)У2 + ... , (43.7)
где коэффициенты являются функциями полярных углов (заметим, что это ряд того же типа, который применялся в методе возмущений в § 26, но е и у заменены на у и у/у). Подставляя (43.7) в (43.5) и
(43.6) и вводя
I = yhc (б, у)
2 kT
в качестве переменной интегрирования вместо у, найдем, что (43.5)
374
Глава 6. Свободная энергия
и (43.6) соответственно принимают вид
|т^
10 (00
г*/**»*
п 1о I о о
Таким образом, если первый неисчезающий член в К(у) имеет порядок п относительно у, то интеграл (43.5) стремится к низкотемпературному пределу, как Тп~2, тогда как интеграл (43.6) стремится к этому пределу более медленно — как Тп.