Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Борн М. -> "Динамическая теория кристаллических решеток" -> 146

Динамическая теория кристаллических решеток - Борн М.

Борн М., Кунь Х. Динамическая теория кристаллических решеток — М.: Ил, 1958. — 488 c.
Скачать (прямая ссылка): dinamicheskayateoriyakristalicheskihreshetok1958.pdf
Предыдущая << 1 .. 140 141 142 143 144 145 < 146 > 147 148 149 150 151 152 .. 186 >> Следующая


Исследуем характер температурной зависимости коэффициентов свободной энергии (41.38) в пределе низких температур. Вычитая из этих коэффициентов их соответствующие предельные значения при 7 = 0, получаем
§ 43. Закон Т4

371

F«{T) - F»'(0) = - (/ /У) +

+ din M- (J 7) M‘ (I "4 i ^ - dk! "y +

2„!0 ,,}r +т^2''.|'КГЯ^(7П +

+ЛЧ7/-)ЧУ?

?2 (У

2co

со2 к I — со2 №

dy

1_

2k T

ла

4cu2(y | W

/ММ (T) - F“<™ (0) = - ^ JK,W (_ J /) -

2w217

^ *. Г/) (:r/)| p(j) - -

12'2-'1КГЯ^>(:79 +

J J

?s iy] - —* W 2» ?

+ M.( j^) *«,)(_? «([ „.(J) _„.(?)

+ 1Гi2j«.r,')»»)(T’

dy +

Л2

?2 (JJ J 4 aj2fy

vrl

Ы^СО-^ЧО)},

24*
372

Глава 6. Свободная энергия

р(аР)(.'А) (7) _ pWW>) (0) = 2

?J{*<•»« (:: -J Я - ^ *«> (7 7) *-> (7 7) *

М?)-

>** +

«¦«>(: 7/-)Фы>(77)!

0

Н)

1

2кТ

”!й-

^1М77)М77)!

„2 ГУ

dy-

Л2

,dy-

4 ш2 (/)

- <5„у {F(W (Т) - (0)} , (43.1)

где мы использовали то обстоятельство (очевидное из последующего рассмотрения), что интегралы, содержащие множитель

2 _ _________

4“!Ю ’

обращаются в нуль быстрее, чем Т, в пределе низких температур. Разности (43.1) выражают части коэффициентов, зависящие от температуры ; эти разности зависят, как видим, только от динамических членов. Интегралы, входящие в (43.1), содержат один из следующих зависящих от температуры множителей

h

2. со

2e-bo:J2kT

И2 -

пг

2 ш ehal2kT

Кг

e -h:42kT ’

4

4а>* 4<и' [е'Ы2*Т_г-*»/2*Т]2-

(43.2)

(43.3)

При ha больших по сравнению с кТ, оба эти множителя быстро (в основном экспоненциально) спадают с увеличением частоты. Поскольку для всех ветвей, кроме акустических (/ = 1, 2, 3), частоты

'у ' имеют конечные нижние пределы, то для достаточно низких
§ 43. Закон Г1

373

температур необходимо рассмотреть только вклады, вносимые низкочастотными частями акустических ветвей, иными словами, вклады, вносимые длинноволновыми акустическими колебаниями. Для этих колебаний можно написать

ш (у) =2лCj(6,<p)y , (43.4)

где (у, б, <р) — полярные координаты вектора у, a cv(fl, <р) — скорость упругих волн, принадлежащих к ветви / и бегущих в направлении (б, <р). Таким образом, все интегралы в (43.1), существенные в пределе низких температур, могут быть записаны в одном из следующих видов:

2 л п

J d<p \ sin б dQ J у3 йу К (у) у-~-^ х

ехр[-^Ч

ехРр-^ ] ~ехР[ - VhC{°,(P)

(43.5)

2k Т

2 я

т J dcp J sin 0d0 JУ2йУ к(У) ус»!О,у)"

1

1

Г, (43.6)

где К{у) — произвольная функция у. Верхний предел интегрирования по у не может быть четко определен ; но во всех тех случаях, когда температура достаточно низка, чтобы можно было пренебречь всеми колебаниями, кроме длинноволновых акустических колебаний, точное значение верхнего предела несущественно и можно положить его равным бесконечности (ср. рассмотрение закона Т3 в § б). Представим К(у) в виде следующего ряда по степеням у:

К(у)=К0{в,Ч>) + К1{в,<р)у + |К3(6,9’)У2 + ... , (43.7)

где коэффициенты являются функциями полярных углов (заметим, что это ряд того же типа, который применялся в методе возмущений в § 26, но е и у заменены на у и у/у). Подставляя (43.7) в (43.5) и

(43.6) и вводя

I = yhc (б, у)

2 kT

в качестве переменной интегрирования вместо у, найдем, что (43.5)
374

Глава 6. Свободная энергия

и (43.6) соответственно принимают вид

|т^

10 (00

г*/**»*

п 1о I о о

Таким образом, если первый неисчезающий член в К(у) имеет порядок п относительно у, то интеграл (43.5) стремится к низкотемпературному пределу, как Тп~2, тогда как интеграл (43.6) стремится к этому пределу более медленно — как Тп.

Предыдущая << 1 .. 140 141 142 143 144 145 < 146 > 147 148 149 150 151 152 .. 186 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed