Динамическая теория кристаллических решеток - Борн М.
Скачать (прямая ссылка):
Полагая в (37.38)
иЗ> = 0, й? = 0,
найдем для статического случая:
__ _ 1 | д’-F SZF . 8Z F 6s F I
Cay,pi — CjU,ay — -4-{ gfiai) + дй/идйуа duAf) диау + дйхр дйуа /стат. '
(42.1)
368
Глава 6. Свободная энергия
Используя выражение (41.36) для свободной энергии, а также соотношения симметрии (41.35), получаем
сау,ел = {/7"1'>'^}стат. =
= И, уХ] + [Ру, аХ] - [РХ,ау] - ±-?---7 ^ ,
W i/J
(42.2)
где {F^^jcraT. получено из (41.38)' путед! отбрасывания динамических членов. Покажем теперь, что последний член в (42.2) равен
— (ау, р?.) [см. (26.33) ]. Рассуждения, которыми мы будем пользоваться, по существу аналогичны тем, которые были приведены в §34.
По определению (см. § 40),
(:Я-^ *¦> U гНШтяг* (*• I °) ¦ <42'3>
Имея в виду соотношение инвариантности (23.14), можно заменить xY ( на xY (= Ху Q - х- (А:')} и выразить (42.3) через коэффициенты С{„/1У(1ск'), определенные в (26.4)
М-/Н - i 2\2^C^n\e,(k'\j) ¦ (42.4)
Следовательно, последний член в (42.2) можно иначе записать в виде
ька 22\2 с^у (кк")\ \2Ут*'"с*'">! х
k.u krv {к" ) ( к'" )
2 / О' сог
(42.5)
Полагая у = 0 в (38.24) и учитывая (38.5) и (38.21), найдем, что векторы поляризации е(^!у] удовлетворяют уравнениям
2 -jsjW Ш (*' й > “* 0«• (*!,“). <42-«
которые, будучи выражены через коэффициенты С^кк'), опреде-
§ 42. Статическая (неколеблющаяся) решетка
369
ленные в (26.3), принимают вид
2 С$ (А*') ее (/с' |°) = (°) (/с |°). (42.7)
Рассматривая формально правую часть этих уравнений как неоднородность, найдем с помощью введенной в (26.25) и (26.27) матрицы Г
е“ (ft I/) = "2 0 2г"°{kklе° (*'!/) • (42-8)
Умножая (42.8) на
(*'!/)
? ГО or
и суммируя по / с использованием соотношений ортогональности заметим, что е* [/с' I °) = [к' ° ]]) непосредственно приходим к
соотношению
е>‘ (Л I/) е’ (к' I/)
2 тл- ¦ = г»ЛкП (42.9)
“¦0
Подставляя (42.9) в (42.5), убеждаемся, что, согласно соотношению симметрии (26.4), последний член в (42.2) равен выражению в круглых скобках (26.33). Таким образом, упругие постоянные
(42.2) находятся в полном согласии с выражением (27.26), полученным ранее методом длинных волн. Из вышеприведенного рассмотрения очевидно, что в данном методе эффект внутренней деформации выражается через нормальные координаты Q Этого как
раз и следовало ожидать, поскольку, как мы видели в § 38, эти координаты описывают взаимные относительные сдвиги составляющих решеток Бравэ, или, иными словами, внутренние деформации.
В § 38 отмечалось также, что в случае ионной решетки введенные там координаты Q необходимо являются неоднозначными.
При рассмотрении свободной энергии макроскопическое поле учитывалось нами явно с помощью введения добавочного члена в
гамильтониан. Поэтому ясно, что в этой связи координаты Q
должны быть определены прежде всего путем исключения вклада макроскопического поля. Чтобы сделать это в явном виде, необходимо рассмотреть определенную модель, по крайней мере постольку,
24 Макс Борн и Хуан Кунь
370
Глава 6. Свободная энергия
поскольку речь идет о кулоновской части атомных сил. Так, для модели жесткого иона (ср. §31) координаты Q должны определяться с помощью (42.8), где следует использовать /'-матрицу
(31.35), определенную через С$(кк')\ напомним, что последние величины представляют собой коэффициенты С(°р\кк'), из которых исключен вклад макроскопического поля. При этом легко убедиться, что статические части пьезоэлектрических постоянных и диэлектрического тензора [(37.39), (37.46), (41.36) и (41.38)], полученные рассматриваемым методом, находятся в полном согласии с соответствующими результатами (32.12) и (32.18), полученными методом длинных волн. Требуемое доказательство весьма просто : достаточно заметить, что в модели жесткого иона
Р% = О,
V Ма,р (к) Ху (к) = дар v ек Ху (к) = дар ц*, (42.10)
t к к
и что в методе длинных волн подразумевается равенство = О, так как в противном случае существовало бы неоднозначное макроскопическое поле в дополнение к полю (31.14), вызываемому смещениями ионов.
§ 43. Закон Т4
Как показано в § 37, все нормальные механические и электрические свойства кристалла могут быть описаны с помощью его свободной энергии. Явные формулы, выражающие эти свойства, получаются путем подстановки выражения свободной энергии из (41.36) и (41.38) в общие результаты, выведенные в § 37. Температурная зависимость этих формул, вообще говоря, очень сложна ; общее рассмотрение возможно только в предельном случае очень низких температур.
