Динамическая теория кристаллических решеток - Борн М.
Скачать (прямая ссылка):
ЬЕу
Ъ I
А("А> <5.„ — АМ)dYlt + -> = О и т. д. (41.30)
О llyl '
Имея в виду (41.26), можно записать (41.30) также и иначе :
AW д.,г — Л("д) д-Л1 + _ ДМ (-/>.) = о . (41.31)
Соотношения инвариантности (41.28)—(41.31) достаточны, чтобы можно было выразить свободную энергию через йар = йра и Ё с точностью до членов второго порядка включительно относительно этих параметров. Перепишем оба линейных члена в (41.21):
2’ Аа Еа = 2' Ау Еу = 2' А' (Еу — 2 и$у Eji) — 2' Ау Щу Ер —
а у у р Ру
= 2 Ау Е, - У АУ дар Еа иву, (41.32)
У аРу
2 A™ U„p =2 up, = 2 AwlUupi + и,р)\ =
аР рХ РХ I* )
= 2А^'^ (llpt + Uxp) + -7)^UuP UaXf — ~^~2 Uap Ua>. =
PX * a I * apx
= 2 A^ йрх ~^2 AW bay UaP UyX , (41.33)
PX w aPyA
где замена Upx симметризованным выражением (Upx + Uxp)l2 допустима в силу (41.28). Таким образом, деля затем (41.21) на Nva, можно записать свободную энергию, приходящуюся на единицу объема (недеформированной решетки), в виде
F = F0 + 2E“K+2 йар + i 2 Еа? Еа Ер +
а ар аР
+ 2 ЕаШ Еп Upy + ~22 Е^ W Uap UyX, (41.34)
аРу ^ аР у?.
где
ро — —А° F“ — . А“ — E-(^d)
Nva’ Nva ’ ~Nva~
Fali = = F^, Fa^ = - JL. [Aa{*y) - Ay dap) = Fa(yel),
р1Ы>Н-Л) — _1. {Д(«Р)(уХ) _ Д0Х) ^ = f0a)(yx) = p(y>.) (ap) _ (4 J 35)
§ 41. Свободная энергия 365
Указанные здесь соотношения симметрии можно легко проверить с помощью (41.26) и соотношений инвариантности (41.28)—(41.31). Благодаря этим соотношениям симметрии параметры деформации в членах второго порядка могут быть заменены соответствующими симметризованными выражениями
F = F0 + 2 Fa ?« + 2 Fir,n йац' + -п 2 Fn* Еа +
а ар “ af}
+ 2 Еи^(щу + иур)] +
+ у 2} /г(о/3) (г^а,3 + u.j„)j |у (ы;.;. + UXy) | .
Опуская члены третьего и более высоких порядков относительно макроскопических параметров, .можно переписать окончательно свободную энергию как функцию параметров ?«,; = й$а и Ё в виде
F = F° + 2 FaE° + 2 йа,, + ^2Ра9ЕаЁ? +
а ар аР
+ 2 Ра(М Еа Щу + 1 2 йаР йу1. (41.36)
ару “ ар уХ
С помощью формул (41.35), (41.20) и коэффициентов g, приведенных в (41.4), нетрудно написать теперь в явном виде коэффициенты в выражении свободной энергии (41.36). Удобно преобразовать все суммы по волновому числу у в интегралы
2-+Nva\d у. (41.37)
у
Это оказывается возможным потому, что при большом N изобра жающие точки разрешенных волновых чисел в обратном пространстве расположены очень густо и плотность этих точек равна V = Nva (см. § 38).
Явные выражения для коэффициентов в выражении свободной энергии выписаны ниже [см. (41.4)]:
Fo = *± + 2kT2Un [2sh4-? (*)1 dy>
Va j J L ? \j J.I
= 2$ Glop) (lJ ~*) q2 (J) d У ,
366
Глава 6. Свободная энергия
pap __ Р аР ^
Ч°)Ч°)
Va Va
4°)
- # jp-1? 1)+“¦& "Ям’ (/ 7)pW+ + ^j/K7Mr7)+
- ^2М, 7) ч 7){ЙЯГ - 7%)лт’
ма 1° ( фш Г °|
/»<“ = -^|*1„(ЧМЧ+^2 -
- Щм.,ш д - J) - 7) *ц 7 7) ] -
Ч^1К7)М:7Я+
w;w
W7JW77J>^% +
+w?J4y 7)М7 7) W - +
§ 42. Статическая (неколеблющаяся) решетка
367
®(аД( °W;.)(
/**><*> = {[ау,Щ + \{}у,аХ) - [уХ, сф]} - ±2---------------------+
- U
+# (*-« (::] 1) - 7Я М7 DpjW
+
+
-^К4:П)МГЗ(К
4 coa
*’ 1 dy —
(41.38)
§ 42. Статическая (неколеблющаяся) решетка
В (41.38) члены, содержащие интегралы по у, выражают эффекты, обусловленные колебаниями ядер. Если такие динамические члены опустить, то свободная энергия сведется к плотности энергии статической решетки. Отметим, что, ввиду неизбежного существования нулевых колебаний, реальная решетка не сводится к статической модели даже при абсолютном нуле температур. Тем не менее статический случай представляет определенный интерес, поскольку механические и электрические свойства, вытекающие из соответствующей плотности энергии, могут непосредственно сравниваться с результатами, полученными методом длинных волн, в котором внутренние колебания ядер не принимаются во внимание. В частности, поучительно узнать, как в настоящем рассмотрении учитывается внутренняя деформация, вызываемая упругой деформацией.
