Динамическая теория кристаллических решеток - Борн М.
Скачать (прямая ссылка):
? 41. Свободная энергия
361
Во всех членах, кроме
iN
1 >: у
Ц.) g\>, (J^ , (41.14)
о
* у У* У*
коэффициенты второго порядка входят в (41.9) только в виде
Полагая в (41.5) и (41.6) /' = /, мы видим, что коэффициент g (J J)
является вещественным и что, кроме того, коэффиценты g в обоих членах правой части (41.12) равны, так что (41.12) можно записать в виде
М.Э=*(/ /)к+<&'}¦
(41.15)
Таким образом, пользуясь для aw значениями (41.13), найдем
в*а-н(п) <«¦>«>
и
g«'U)=0 при 1'фХ. (41.17)
Следовательно, выражая (41.9) через коэффициенты, перечисленные в (41.4), следует специально упомянуть только члены (41.14). Штрих у знака суммы в (41.14) исключает только те члены, у которых как /' = /, так и Л' = Л ; следовательно, имеется целый ряд членов, у которых знаменатель обращается в нуль, т. е. таких, у которых /' = /, но Х’фХ. Однако, как видно из (41.17), коэффициенты g в этих членах равны нулю. Напомним, что члены (41.14) возникают первоначально при расчете по теории возмущений второго порядка (см. § 17); равенство нулю коэффициентов g указывает на равенство нулю соответствующих матричных элементов. Таким образом, в
(41.14) следует опустить члены /'= /, 1'=фХ, после чего остается
2
у У
4- у у у:
(41.18)
где штрих у знака суммы исключает теперь все члены с /' = /.
362
Глава 6. Свободная энергия
С помощью (41.12) и (41.13) находим
+?-^ИГМ7Я+47М7)}+
+{?<*Ж'ПМТЯЬ
=*ТМ11)+А1№^-
Таким образом, (41.18) сводится к
4N а* (У)
* ? ? ? И? 1) * С7Я+«-ПЯ 4 7)! •
(41.19)
Имея в виду (41.16) и (41.19), можно легко выразить (41.9) через коэффициенты (41.4)
A° = N<p0 + 2kT22ln{2 shy/S(J)),
^N У J
А‘ = й + ^'-5У(ПМ/Ь
л5' = go' -2 [“>(¦)] 2g}gj +
iN
47|гГЯ-^47)4у7)|Ну)+
IN Wy|
+ ^22 JI47M7?)+47K1%^)-
IN , _ ч
- 07br 22 gs(y _y) g‘ (y _y] \W РОГ- -Л-Д • (41-20)
2,lTTf ^ 1} 1J\14 У1)\ 4и.(ш v
I
Выраженная явно через макроскопические параметры, свободная энергия (17.25) в рассматриваемом случае принимает вид
Е = Л° + 2 АаЕа + 2 Л(°«иаР + ±2 А*ЕаЕр +
а ар ~ afi
+ 22 ^“№) EaUpY + ^-22 А(ар)Ы) иар U* . (41.21)
а Ру а р уЛ
§ 41. Свободная энергия
363
Выведем теперь некоторые соотношения инвариантности между коэффициентами, которые дадут нам возможность выразить свободную энергию через параметры деформации йар = йра и Ё (см. § 37). Рассмотрим одновременный бесконечно малый поворот образца и поля. Будем описывать этот поворот с точностью до первого порядка антисимметричной матрицей
(Ору = — ci)vfl. (41.22)
Из (37.19) следует, что при повороте образца параметры деформации и,,у переходят в
u„v + c*v -f- ^ Uav, (41.23)
a
тогда как компоненты поля принимают вид
Ец+(41.24)
V
Заменяя параметры деформации и компоненты поля в (41.21) через (41.23) и (41.24) соответственно, получаем с точностью до членов первого порядка по включительно выражение
F = А°+ ? АаЕа + 2 АасоарЕр + 2’ А^иар +
а ар ар
+ 2 A^(oafl + v Д(“0) соау иур +
аР аРу
+ V Да(Л0 Еа а>ру +22 Д(а/,)(уЯ) Uap Ы-А+ (41.25)
аРу ар уХ
где члены второго порядка относительно макроскопических пара-метров не выписаны явно и использовано то обстоятельство, что
Aaf> == АРа, = дО'А)(°« .з (41.26)
Поскольку поворот не может повлиять на значение свободной энергии, выражение (41.25) не должно зависеть от параметров с точностью до первого порядка. Таким образом, можно приравнять нулю первые производные от (41.25) по co^v = —avft, что дает
I = А" ?„ - А'Ер + А1» - A(v"> + 2' {А<"« uvp - Аи^р) +
р
+ 2 {Аа(^> - Аа^} Еа + 2 Uup+ ...=0.
а ар
(41.27)
Это соотношение должно выполняться тождественно для любых значений иар и Е. Отсюда следует, что постоянный член и все про-
364
Г лава б. Свободная энергия
изводные по параметрам выражения в левой части (обозначенного
через /) должны обращаться в нуль :
Л(‘“° — Л(,,/') = 0 , (41.28)
87 = АГ6Г„ + А*11”) — А*™ = 0 , (41.29)
