Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Борн М. -> "Динамическая теория кристаллических решеток" -> 142

Динамическая теория кристаллических решеток - Борн М.

Борн М., Кунь Х. Динамическая теория кристаллических решеток — М.: Ил, 1958. — 488 c.
Скачать (прямая ссылка): dinamicheskayateoriyakristalicheskihreshetok1958.pdf
Предыдущая << 1 .. 136 137 138 139 140 141 < 142 > 143 144 145 146 147 148 .. 186 >> Следующая


(40.16)

Ру к

Соответствующая энергия для N ячеек равна

(40.17)
358

Глава 6. Свободная энергия

Сумма кинетической энергии (38.29), потенциальной энергии

(40.9) и энергии взаимодействия (40.18) представляет собой нормированный гамильтониан для однородно деформированной решетки в присутствии электрического поля.

§ 41. Свободная энергия

Подразделяя гамильтониан так же, как и в (17.2), можно в рассматриваемом случае написать

Hi = 2 g(afl> (?) Uafl +2ё° (?) Еа ,

a/J а

И2 = | > Г* (?) ЕаЕр +2 2 Г:/w (?) Еа щу +

+ \22^а1))Ы)(‘})иариу,, (41.1)

? а(3 уЛ

где, как и в § 17,

аaft __ gРа ^ g(af>) (у>.) = g(v>-) (аЯ) ^ (41.2)

Все коэффициенты g представляют собой ряды вида е=е.+^«(?)

Коэффициенты этих рядов можно непосредственно взять из (40.9) и (40.18); выпишем их здесь для различных случаев :

go = — N[t°a> g^> = 0,

gj =-VN M„(J) , gf« = \'N ФМ) (I?) ,

gg »=-N p% , $ву) = — N У Mn,fs(k) ху (к),

к

gt-ЯО-я) = ([ау> ОД + [fa аХ] - [УХ, afi]}Nva = gWW» [см. (27.25)],

gf = -WPap (°) , =~WAf„,ш (Z;°) -

g{ew№=w ф^> ы) (: :°), g* [yj 7) = -(J ~J) -

gam = _ мъ(М Д -У) , рпм (у -У) = ф{ар)Ы) (3 -У -У).

(41.4)
§ 41. Свободная энергия

359

Все коэффициенты второго порядка удовлетворяют соотношениям

*1ГЯ-*(¦?/)• <41-5>

«•(Г/НГЯЬ <41-6>

каждое из которых можно проверить с помощью рассуждений, аналогичных использованным в § 39. С более общей точки зрения, как показывает несложное рассмотрение, эти соотношения являются прямым следствием соотношений

фдеф gr -yj = фдеф J-yyj = |фдеф _ (41.7)

справедливых для любой однородно деформированной конфигурации (такой, как описываемая параметрами иар), и аналогичных соотношений для производных от М(Х) и Рар(О, X); дело в том, что коэффициенты g второго порядка являются в сущности коэффициентами

разложения величин Фдеф (J и т. д., выраженных в виде рядов

по параметрам uafi.

Будучи выраженным через вещественные координаты ) и

frPO [У г О, см. (38.33) и (38.34)], ряд (41.3), очевидно, прини-

мает вид

г - и + 2 г,Q Q + i 2 2 2 и. O')» R) *,(;). <« jo

т. е. линейные члены зависят только otQ^), а квадратичные члены являются произведениями величин ^или Q(y}> не указанных явно в (41.8)j, соответствующих волновому числу у. Величины

) и представляют собой в данном случае внутренние коорди-

наты, обозначенные через qj в § 17 ; таким образом, (41.8) является точным эквивалентом разложений (17.3). Заменяя (17.3) на (41.8), можно соответственно переписать формулы (17.26) для коэффициентов в выражении свободной энергии

N/S ,

д° = n <р0 + 2 к т 2:2: in 2 sh 4 р

У j ’

N12

As = е°+4г
360

Глава 6. Свободная энергия

Ast = gs0f - ^ [о> (°) | * ? gj +

у у Л ;•*

¦4 N

>G)4v) ¦ <4i-9>

где индексы s и t обозначают либо один, либо два индекса в зависимости от того, относятся ли они к компонентам поля или к параметрам деформации. При написании выражений (41.9) учитывалась независимость от индекса Л частоты ш gfj, а следовательно,

и величин /? (Yj и q2 (J) :

, f *«(?))

(41.10)

„ . 2 kT

2 <

Для получения явных выражений А0, Л5, Asl с помощью (41.4) следует еще выразить коэффициенты второго порядка в (41.9) через

коэффициенты второго порядка g(^. J,). Сравнение (41.8) с (41.3)

приводит к тождествам

$ *¦ Ш * (Я«- 0=* O' 7) « (Я«(7)+в (7Я в (7)«(Я •

(41.11)

Выражая с помощью (38.33) и (38.34) комплексные координаты в

правой части через вещественные координатыи приравнивая

затем соответствующие коэффициенты в обеих частях (41.11), найдем требуемые соотношения между обоими типами коэффициентов второго порядка, которые можно записать в виде

*“• (й=““•*(/ 7)+ аМ7Я • (4|л2)

где

а11 = ~2 > а12 = —2 ’ °21 = ~2 ’ ^22 = 2 ' (41.13)
Предыдущая << 1 .. 136 137 138 139 140 141 < 142 > 143 144 145 146 147 148 .. 186 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed