Динамическая теория кристаллических решеток - Борн М.
Скачать (прямая ссылка):
§ 40. Нормированный гамильтониан
Как было показано в § 17, для получения свободной энергии системы, зависящей от некоторых макроскопических параметров, необходимо иметь гамильтониан, представленный в виде ряда по степеням этих макроскопических параметров и некоторых внутренних координат qj. Эти внутренние координаты описывают тепловое движение и должны быть выбраны так, чтобы они сводились к нормальным координатам при обращении в нуль макроскопических параметров (т. е. для равновесной конфигурации в отсутствие внешних сил). Рассматривая упруго деформированную решетку, мы не можем непосредственно ввести в качестве макроскопических параметров параметры деформации 0„р = йца, так как тогда невозможно будет записать гамильтониан в явном виде. Вместо этого следует начать с использования параметров деформации иар. При выборе величин Uap в качестве макроскопических параметров можно рассматривать величины qj как некоторые координаты, определяющие
дальнейшие смещения ядер и(?) из деформированной конфигурации,
описываемой параметрами иар. Можно, очевидно, выбрать внутренние координаты с помощью соотношения (39.3), а именно
N
П ^ Q (J) е (ft I J) ^.yxcz) ; (40.!)
kl (Nmk)'l>
причем в качестве внутренних координат qj выбираются тогда соответствующие вещественные координаты Q (?j и?я(у) [при у т^О
они связаны с Q(jj соотношением (38.33)].
Пока рассмотрим в качестве внутренних координат комплексные координаты Q (Jj. Таким образом, наша задача состоит в том, чтобы
выразить гамильтониан в виде ряда по степеням иа$ и Q (J] в предположении, что решетка вначале подвергается внешней деформации,
§ 40. Нормированной гамильтониан
353
описываемой параметрами ищз, а затем ядра испытывают дальнейшие смещения в соответствии с (40.1). Как и в § 17, мы будем рассматривать только члены вплоть до второго порядка как относительно
макроскопических параметров, так и относительно координат Q(J)-
Рассмотрим вначале ту часть Ф, которая зависит от координат
Q (Jj. Эта часть характеризует изменениеФ,вызываемое смещениями
(40.1) из однородно деформированной конфигурации иар; ее значение, нормированное на N ячеек решетки, равно, таким образом, выражению (39.19) для 3 Фяеф, если под деформированной конфигурацией в (39.19) и (39.20) понимать конфигурацию, описываемую параметрами иар. Подставляя ядерные смещения (36.4), имеем
« g; •••)=**••• [V,-- .)-?**©+
+ 122 .. (II°кI ¦ • •) {2 xv({|} ^2 uvx х;.(?)} + ....
(40.2)
Рассматривая правую часть этого равенства как разложение в ряд по параметрам ипр, можно считать соответствующие коэффициенты некоторыми образами производных от Ф, получаемыми путем умножения их на вектор решетки, как, например, x.^J, с последующим
суммированием по индексам^). Мы будем обозначать такие образы,
заменяя суммируемые индексы в производной от Ф горизонтальными черточками и объединяя декартов индекс вектора решетки с декартовым индексом, первоначально принадлежащим к индексам суммирования. Используя эти обозначения, можно записать (40.2) в виде разложения по иар
(J/!-•••) = ф°р (J 1к> • • ¦) + 2 Фмоц... (_? [¦ ¦ ¦ •) +
+ ~2 22Ф(цу) W Ф... (______fc fc' ‘ ‘ ) ll/r< UrX + ¦ ¦ • ¦ (40.3)
Подставляя (40.3) в (39.20), а последнее выражение — в (39.19), получаем <5 Фдеф в виде ряда как по иир, так и по Q (Jj. Удобное обозначение для коэффициентов этого ряда получается, если рассматривать соотношения (39.20) и (39.9) как определяющие преобразование
от совокупности индексов а/9 ... [^,... J к совокупности индексов
23 Макс Еорн и Хуан Кунь
354
Глава б. Свободная энергия
...j. При таком понимании мы можем записать указанное разложение в виде
6 фдеф = YN 2 2 Фш (: ¦) и-/. Q (°) +
+ 2 222 Ы) (_________________?) UaP U-A Q (У) +
а/3 у к j \ V 4J
+||^-(!)в(})«ГЯ +
2
у
(::ГЯ“-“"ЧУ)«ГЯ+- ¦
(40.4)
Принятая система обозначений коэффициентов непосредственно указывает на их связь с производными от Ф, например
•м <* (:: ] 7)=2222 (/йа * (D* (|) х
х osi)» Ч* IЯ* (*'! 7) ^’1!хт • (40-5)
Чтобы получить полную энергию, мы должны прибавить к выражению (40.4) энергию при однородной конфигурации, описываемой параметрами иар. Как мы уже подчеркивали в гл. 5 (см. § 25), метод прямого разложения Ф не приводит к однозначной величине плотности энергии, связанной с однородной деформацией. Это затруднение обусловлено тем, что ядерные смещения при внешней деформации неограниченно возрастают с расстоянием ядер от начала координат и не удовлетворяют условию периодичности ; поэтому способ нормировки, которым мы пользовались применительно к смещениям (40.1), уже неприменим.
