Динамическая теория кристаллических решеток - Борн М.
Скачать (прямая ссылка):
346
Глава 6. Свободная энергия
получаем для приведенных смещений выражение
0=тг(7) «• (* IJ) е“',х<'’+«*¦ 0е- (‘! “,¦) е~!л,”<'>! •
(38.45)
Величина q (Jj как функция времени в общем случае может быть записана в виде
q (yJ = c(e'Kf)'"4] + в--[“(,у)'-4]1 , (38.46)
i)-LV /
причем соответствующие значения а+ и а~ равны
у) = гЪ>'К?Н*] . а_ fyl = - //*-¦'KIM
а+ [JJ = ice1 rWr“eJ , a- [JJ = - J . (38.47)
Подставляя (38.47) в (38.45), сразу замечаем, что приведенные смещения пропорциональны величине
sin
2 я у х (/) - ш (J) f + с5„ (ft j Jj - й
Таким образом, координата q (Jj описывает бегущую волну, распространяющуюся в направлении у. Мы будем называть координаты q (Jj нормальными координатами второго рода. Впервые их ввел Пайерлс.
Координаты Q(yj следует включить в оба типа нормальных
координат. Опуская в (38.36) суммирование по у и полагая у равным нулю, получаем выражение
]/>(?)' <3fU8)
которое показывает, что смещения ядер, описываемые этими координатами, не зависят от индекса ячейки I. Иными словами, координаты
О
описывают взаимные относительные осцилляции составляющих
решеток Бравэ. Для заряженных частиц решетки они связаны с электрической поляризацией; из рассмотрения, проведенного в гл. 5, следует, что в таких случаях эти координаты не могут быть определены единственным образом, т. е. при этом коэффициенты
еа (ft | 9J и величины со2 (^.J должны быть неоднозначными. Впоследствии мы увидим, как следует выбирать эти координаты при таких обстоятельствах.
$ 39. Нормировка физических параметров, правила отбора
347
§ 39. Нормировка физических параметров, правила отбора и методы разложения
Свойства кристаллов, которые мы будем рассматривать, определяются, главным образом, изменениями
Ф(Х)~Ф (Х°), м (X) - М (Х°), Р,„з (со, X) - ра„ (ш, X»)
потенциальной функции, электрического момента и поляризуемости, возникающими в результате смещений ядер. Как и члены второго порядка в выражении Ф, эти разности могут быть нормированы на конечные значения путем наложения условия периодичности на ядерные смещения. Так, обозначим соответствующие нормированные значения для N ячеек через 6Ф, <5М, дРа?; тогда получим для 6Ф выражение
i -I’ Д Дф (* J- г) “¦ 0 “> (9(*•) + ¦¦¦• (М- ¦>
где суммирования со значком N ограничены N ячейками производящего объема, а ядерные смещения удовлетворяют условию периодичности (38.2). Линейные члены (равные нулю, согласно условиям равновесия) формально сохранены, так что результаты, которые будут получены для <5Ф, могут быть использованы для написания аналогичных результатов для <5М и дР,,?.
Если выразить 6Ф в виде разложения по степеням комплексных
нормальных координат Q J, то многие члены этого разложения
оказываются тождественно равными нулю. Мы вскоре увидим, что характер правил отбора позволяет записать рассматриваемое разложение в виде
+^!Ф(у++
NN N
(39.2)
где А — функция, определенная в (38.11). В силу (38.13) член
Q (J) Q ... Q присутствует лишь в том случае, если сумма
соответствующих волновых чисел представляет собой вектор обратной решетки.
348
Глава 6. Свободная энергия
Чтобы увидеть, как возникают множители Л в (39.2), рассмотрим в качестве примера члены третьего порядка. Если выразить ядерные смещения через комплексные нормальные координаты по формуле [см. (38.36) ]
О=-fk 0=w |«0?- (‘ IЯ • <39-3>
то можно записать члены третьего порядка в (39.1) следующим образом:
етк-ШЧ”) «(Я«(г) 2 - МГг~"г') х
УУ УУ y“j“ 'I J ' Ilea I'k'P lmkaY \K К К j
x e° (к! Я e>ik'! Я 4k' IЯx
X exp{2 n i [yx (/) + y' x (/') + y' x (/')]}, (39.4)
где, как было объяснено в § 23, можно вычесть один и тот же индекс I из всех индексов ячеек в коэффициенте Ф^у ^ , не изменяя значения последнего. В правой части (39.4) напишем
х (/') = х (/'-/) + х (0, * (О = х (Г - I) + х (/)
и введем i —I, I" — I в качестве индексов суммирования. Записывая эти индексы суммирования снова в виде /' и I", получаем
<rkf ехр [2-iCy+ У- +У')х(/)1 х
Х {f? irI п; Ф""1(* *' ¦9 (та да та-)» е" (*! /) 1‘ (*” \ f) г' (** I г) Х
X ехр {2 л i [у' X (/') + у' х (/')]}}. (39.5)
Выражение в фигурных скобках не зависит от I; таким образом, выражая результат суммирования по I через Л-функцию, определенную в (38.11), получаем члены третьего порядка точно в таком виде, в каком они даны в (39.2), причем
ф (/гЯ =
- ? 2 Д *
X {ехр 2 л i [у' X (/') + у' х (/")]}. (39.6)
