Динамическая теория кристаллических решеток - Борн М.
Скачать (прямая ссылка):
можем принять
«.(*|/) = ?(*!“/)¦ (38-3°) Таким образом, из (38.27) и (38.17) следует
Q* (J) = 2ка (/с j Jj w* (к : у) = 2 е* (/с j “ Jj w„ (к | -у) = Q (“Jj.
(38.31)
Комплексные нормальные координаты Q(Jj описывают амплитуды плоских волн в решетке, представленных в комплексной форме. Комплексные волны, описываемые соответственно величиной Q (Jj
и ее комплексно-сопряженной Q* (Jj = Q (^ Jj, могут быть скомбинированы в две независимые вещественные волны; наиболее обычные способы такой комбинации заключаются в образовании либо двух стоячих волн, сдвинутых друг относительно друга на четверть волны, либо двух бегущих волн, распространяющихся в противоположных направлениях. Ниже мы выведем оба типа
§ 38. Нормальные координаты решетки
343
нормальных координат, соответствующих каждому из двух типов вещественных волн.
Заметим прежде всего что 3 п координат Q (Jj с у = 0 вещественны, так как из (38.31) следует
Q* (¦) = Q (¦) ¦ (38.32)
Таким образом, этими координатами можно непосредственно пользоваться в качестве вещественных нормальных координат.
Разделим разрешенные волновые числа на две группы с помощью произвольной плоскости, проведенной через начало координат обратного пространства; таким образом, два волновых числа у и — у расположены по обе стороны от этой плоскости. Пользуясь
комплексными нормальными координатами Q (J), для которых значения у расположены по одну сторону от плоскости, введем вещественные нормальные координаты qx (Jj и q2 (Jj
«е')=ттМ7)+1''4у))- <жзз>
Соотношения между (Jj, q2 (Jj и комплексными координатами,
волновые числа которых расположены по другую сторону от плоскости, полностью определяются равенством (38.31)
«П)=ттКН4))- <38-34>
Как в потенциальной энергии (38.28), так и в кинетической энергии
(38.29) члены, соответствующие паре волновых чисел у и —у, согласно (38.31) и (24.18), равны друг другу. Таким образом, используя (38.33) и (38.34), можно выразить сумму потенциальной и кинетической энергий через вещественные нормальные координаты
т|7 ДИЧ+ЧМ)!' <38-35)
где N/2 означает, что у пробегает при суммировании разрешенные волновые числа, расположенные по одну сторону от плоскости, проходящей через начало координат обратного пространства. Вид
(38.35) подтверждает, что q1 (Jj и q2 (Jj являются нормальными
координатами системы.
Подставляя (38.26) в (38.18), получаем
344
Глава 6. Свободная энергия
Если выразить через вещественные нормальные координаты, то (38.36) принимает вид
Обозначая аргумент еа через 5, j J) , мы видим, что коэффи-
циенты при дг г) и q2 пропорциональны соответственно
I
cos |2 гг ух (i) + ба [а| J)]
и
sin ^2ггух(0+Зп (A [j)] ¦
Таким образом, эти координаты описывают амплитуды двух стоячих волн, сдвинутых друг относительно друга на четверть волны. Назовем этот тип нормальных координат нормальными координатами первого рода.
В отличие от координат, рассмотренных выше, вещественные нормальные координаты, описывающие бегущие волны, не являются геометрическими координатами, определяющими конфигурацию системы, и, следовательно, не могут быть выведены из одних только смещений ядер. Эти координаты могут быть получены с помощью канонического преобразования. Мы, однако, введем их следующим элементарным путем. Напишем
где а+ и а_ — вспомогательные переменные, связанные с новыми
Заметим, что а+ и а~ являются комплексно-сопряженными величинами; следовательно, (38.38) согласуется с условием веществен-
(38.38)
вещественными нормальными координатами q р
соотношениями
(38.39)
(38.40)
§ 38. Нормальные координаты решетки
345
ности (38.31) для комплексных координат, каково бы ни было значение q
Используя то обстоятельство, что
«й—'ЧЮ (38.41)
(это будет доказано ниже), и дифференцируя (38.39) и (38.40) по времени, найдем
(1)=i” (J)1ч ('1)+'«(1)1=‘“ 0о+ ГЯ - <38-42>
= <38-43>
С помощью соотношений (38.42) и (38.43) можно выразить сумму потенциальной энергии (38.28) и кинетической энергии (38.29) через
координаты q (у *
kO H“I) (J)]'[“+ 0]+
-m Ч'Я+¦-ЮГ М'Я+¦-(?)]!=
^|^)+чуп)+^)+чушь
У J N
4»
Ч^НЯ+Ч’УС')!- <3844>
Из вида этого выражения следует, что q являются нормальными
координатами системы; тем самым доказано также и соотношение
(38.41).
Рассмотрим случай, когда возбуждена только одна из этих координат j. Подставляя (38.38) в (38.36) и полагая величины а+ и а~ для всех остальных нормальных колебаний равными нулю,
