Динамическая теория кристаллических решеток - Борн М.
Скачать (прямая ссылка):
-уШ + у(1) = у(^)
представляет собой вектор обратной решетки только для y(h) = y(h'). Таким образом, из (38.13) следует
N
2 { у=- ехр [2 я /у' X (0]}* { у=-- ехр [2 я i у х (0] J = бу-у, (38.15)
если у и у' — два разрешенных волновых числа. Формула (38.15)
выражает соотношения ортонормированности для N различных функций типа (38.9).
С помощью аналогичных рассуждений можно показать, что если
I и I' представляют собой две ячейки производящего объема, jo мы
имеем обратные соотношения ортонормированности
X’ f 1 Г 2 л / у X (/') 11 * Г 1 Г 2 я / у X (/) 1] , , ...
TiwexpL^r4} {жехрИ } = v’ (38Л6)
где буква N означает, что у пробегает при суммировании все N разрешенных волновых чисел.
22*
340
Глава б. Свободная энергия
Используя функции (38.9), выразим приведенные смещения через набор комплексных переменных (у, у' являются теперь только разрешенными волновыми числами)
w*(k\y) = wu(k j-у) (38.17)
следующим образом:
Wc (3 = (38.18)
Условие (38.17) гарантирует вещественность смещений. Из соотношений (38.15) и (38.16) следует, что преобразование переменных от
iva Q к w„ (к у) является унитарным, и мы имеем формулу обратного преобразования
N
wu(k\y) = (ft) e_2lMyx(,). (38.19)
Выраженная через эти комплексные переменные потенциальная функция (38.7) принимает вид
1 N N N п
1 ¦V X' 'V ГЛ I ‘ ‘ I ... />. I /1.1 I I [yx (/)-j-y'x (Г)] __
2 2 22Das (!k lk.) Wa (k j у) щ (к' I y') e27I‘t
Ik а Гк'Р у у'
У У
N N N
= ^2222 wu(k | y)wP(k' У')е2-(у + у')х« x
Ika k'P у у'
X ^2 DafS ) e-^iy'[x(0-x(/')]j . (38.20)
Выражение в фигурных скобках не зависит от значения I; в этом легко убедиться, если ввести I = I — I' в качестве индекса суммирования. Обозначим это выражение следующим образом:
= (38.21)
После суммирования по I выражение (38.20) принимает вид
\2222ъ>°(к У) Щ (А' I У) <5-у/ А.Д ?,) , (38.22)
- кп ISR V v'
ка к*Р у у'
где использовано (38.15). Выполняя суммирование по у' и используя (38.17), получаем потенциальную энергию в виде
N
2
\222(к;у) д* (*,) w„(к':у). (38.23)
Z у ка Vр ^КК '
§ 38. Нормальные координаты решетки
341
Таким образом, с помощью унитарного преобразования (38.18) мы свели квадратичную форму (38.7) к N комплексным формам,
каждая из которых характеризуется ЗпхЗп матрицей Daf, ^,],
являющейся эрмитовой (см. ниже). Для эрмитовой матрицы Da(3
существует 3 п наборов величин еа [k j (собственные векторы) и
»¦(*) (собственные значения), которые удовлетворяют уравнениям (/ = 1, 2,..., 3 п)
/)=“’(/)'¦ (И/) (38-24)
и для которых выполняются прямые и обратные соотношения ортонормированности
(*'|3 «¦(*|Й =***'**¦ (38-25)
Комплексные нормальные координаты вводятся с помощью унитарного преобразования
и^*1у)=^а(И/М/) ’ (38-26^
причем формула обратного преобразования имеет вид
QQQ we(fciy). (38.27)
Выраженная через Q потенциальная функция (38.23) может быть приведена к виду
1Я-
= т .2 <?•$<?([). (38-28)
где использованы формулы (38.24) и (38.25). Запишем кинетическую энергию (38.8) в виде
342
Глава 6. Свободная энергия
Выражая ее через комплексные нормальные координаты с помощью
(38.18) и (38.26) и используя соотношения ортонормированности
(38.15) и (38.25), получаем выражение для кинетической энергии в виде
(38.29)
Тесная связь между вышеприведенным рассмотрением и выводом волн в решетке (см. § 24) очевидна. Так, уравнения (24.10) и (38.24)
полностью эквивалентны. Коэффициенты Са,з в § 24 отличаются от Dap (Д,) только фазовым множителем ехр { — 2 л i у [х (к) — х (/с')]};
соответственно собственные векторы wa [к j Jj отличаются от еа [к j Jj
компенсирующим множителем ехр {—2л/ух(Л)} (разумеется, с точностью до произвольного нормировочного множителя), а собственные значения со2 (Jj — одни и те же в обоих случаях. Фазовые множители были выбраны различными в обоих случаях исключительно по соображениям удобства: выбор, сделанный в §24, более удобен при рассмотрении длинных акустических волн, в то время как сделанный здесь выбор приводит к более простому виду формул, содержащих нормальные координаты. Из (24.14) и (24.18) непосредственно следует, что матрица является эрмитовой, и мы
