Динамическая теория кристаллических решеток - Борн М.
Скачать (прямая ссылка):
За отсутствием лучшего названия назовем область из N ячеек, определенную в (38.4), производящим объемом; можно считать, что он образует нулевую ячейку в макрорешетке.
§ 38. Нормальные координаты решетки
337
При достаточно большом N (38.3) является близкой апрокси-мацией потенциальной энергии действительного конечного кристалла из N ячеек (ошибка ~ 1 /Л/1/з), так как коэффициенты
чину, которую грубо можно назвать радиусом действия сил. Так, если рассматривать конечный кристалл как производящий объем, удаленный из бесконечной решетки, то нетрудно заметить, что члены в (38.3) с I' за пределами производящего объема составляют лишь малую долю (~ 1/Л/1'3) от всей суммы, пока размеры объема велики по сравнению с радиусом действия сил. Аналогично видоизменение
коэффициентов Фав (вблизи свободной поверхности затрагивает
столь же незначительное число членов. Более того, когда (38.3) используется для описания конечного кристалла, условие периодичности (38.2), очевидно, уже не является ограничением на движение ядер в кристалле:
Введем, как и в § 15, динамическую матрицу
Члены второго порядка в потенциальной энергии, которые даются выражением (38.3), принимают, таким образом, вид
Легко убедиться, что кинетическая энергия, нормированная на тот же объем, равна
Нормальные координаты должны быть выбраны так, чтобы сумма (38.7) и (38.8), выраженная через эти координаты, имела вид гамильтониана системы из 3nN независимых простых осцилляторов. Прежде чем ввести нормальные координаты, рассмотрим некоторые математические предложения.
22 Макс Борн и Хуан Кунь
становятся незначительными, если ! х
I х — х | превышает
вели-
М'*Л=4*3 - (38-5)
и приведенные смещения
(38.6)
(38.7)
(38.8)
338
Глава 6. Свободная энергия
Для каждого данного вектора обратной решетки у (Л) можно построить функцию от х(/) следующим образом:
1 гхЛ2Лг'У(Л)Х('П- 1 + М2 + /,з'3)| П8т
УлГ ехр I L } - УлГ ехр I L / ¦
Очевидно, что (38.9) остается неизменным, если прибавить целые кратные от L либо к компонентам (Z1,/2,/3) вектора х(/), либо к компонентам (Л1, /г2, /г3) вектора у (Л). Это означает, с одной стороны, что (38.9) как функция от х(/) удовлетворяет условию периодичности и, с другой стороны, что можно получить все такие различные функции, рассматривая только значения у(h) в интервале (считаем L четным)
Y<hi> Ъ, h3<~
Таким образом, если записать у(ft)/L в виде у(ft/L), то эту последнюю величину можно интерпретировать как вектор волнового числа, компоненты которого hJL, hJL, hJL могут быть ограничены интервалом
-Т<7Г* X' -L <Т- (38Л0)
Имеется в точности N векторов волнового числа у(ft/L), согласующихся с (38.10); мы будем называть их разрешенными волновыми числами. Их изображающие точки в обратном пространстве равномерно распределены по объему, равному объему обратной ячейки, а именно \jva. Плотность таких точек (она имеет размерность объема) равна, таким образом, Nva = V ; каждой из этих N точек соответствует отдельная функция от х(/) типа (38.9).
Рассмотрим следующую функцию в обратном пространстве
^ (У) = ^ 2 ехр {(2 л I у х (/)}, (38.11)
где суммирование производится по всем N ячейкам производящего
объема, а у — любая точка в обратном пространстве. Выражая у
и х(/) через их соответствующие компоненты (t]v г]2, г]3) и (Z1,12, Is) и выполняя суммирование, найдем
Л (У) = ехР {2 л i (vil1 +ъ Г' + ЩР)} =
_ I 1 - е2л!:L>h) f 1 _ е2тг.Х»;^ ( 1 - С2л|^ ^ ^
— [ 1 - е2л1П1 J [ 1 - е2л,Чз Д 1 - е^'Чз J ' ' ’
Отсюда следует, что функция Л (у) обращается в нуль во всех точках
§ 38. Нормальные координаты решетки
339
у с компонентами вида
(Г11,ъ,ъ) = [т > Т ’ Т") ’
за исключением точек обратной решетки, в которых как знаменатели, так и числители в (38.12) обращаются в нуль. С другой стороны, в точках обратной решетки каждый член суммы (38.11) равен единице. Следовательно, имеем соотношения
( 1 при у = у (Л)
Л (у) = I n I Л ) (Ih h2 h3 \
I 0 при у = у |-?-1 ; не все компоненты 1-^ , —
целые числа. (38.13)
Умножая (38.9) на комплексно-сопряженное от
1 гхп/2л'У(Л')*М I „ехр , ъ |
и суммируя х{1) по производящему объему, получаем
i j «Р ехр [-^<1]} =
[-У Ш+ *(!)]¦ <38л4>
С учетом ограничения (38.10) величина
