Динамическая теория кристаллических решеток - Борн М.
Скачать (прямая ссылка):
+ 2 e°°+ 2 Ee, (37-48>
O P
где постоянные cpo и eaa — те же, что caY,px и еа#у, но только записанные с помощью индексов Фойгта (см. стр. 156). Обозначая через bga модули упругости, определяемые соотношениями
I Ьда = 2’ С9а Ьа}. , ' (37.49)
<J a
можно привести (37.47) к другому виду
Sg = 2’ bga Sa + 2 (2' bga ePa) Ep, (37.50)
a p a
что дает после подстановки в (37.48)
ра=рлиро ^ _ .1^ (in I 1.+ 217 |)] + ^2^у - Sy°)p?P0 +
У
+ 2 [2 е°> V) Sa +2 («<* + 2 е°> V еА Ее- (37-51)
а 4 ч р 4 ра
§. 37. Феноменологическое рассмотрение свободной энергии решетки 335
У пьезоэлектрического кристалла наблюдается явление электро-стрикции, т. е. приложение к нему электрического поля вызывает упругую деформацию. Эта деформация непосредственно выражается формулой (37.50), если положить в ней Sa = 0 ; коэффициенты
2 b" в,, (37.52)
а
называются модулями электрострикции. Электрострикцию можно уничтожить путем приложения соответствующего механического напряжения, называемого электрострикционным напряжением. Последнее, очевидно, выражается формулой (37.47), если в ней положить компоненты деформации равными нулю.
Третий член в правой части (37.51) выражает пьезоэлектрическую поляризацию через компоненты напряжения; соответствующие коэффициенты
2eafbfa (37.53)
называются пьезоэлектрическими модулями. Последний член в (37.51) выражает диэлектрическую поляризацию, вызываемую полем в отсутствие механических напряжений. Соответствующие коэффициенты
аар + 2 еаяЬяаера (37.54}
да
определяют, подобно (37.46), тензор диэлектрической восприимчивости; но только (37.46) относится к случаю, когда кристалл «зажат» при нулевой деформации, тогда как (37.54) относится к свободному кристаллу. Соответствующие диэлектрические постоянные называются «зажатыми» постоянными и «свободными»постоянными1). Различие между этими двумя случаями существует, очевидно, только для пьезоэлектрических кристаллов.
Уравнения (37.50) и (37.51) могут быть с равным успехом записаны в тензорных обозначениях. Заменяя индексы Фойгта тензорными индексами, мы должны лишь определить модули упругости в тензорных обозначениях
Ьау, рх = ~ (1 + <Зау) (1 + дрх) (р ~ (ау), а ~ (/ЗА)) . (37.55)
Выражение (37.55) дает правильные соотношения; это следует из: того, что
у (1 + <5оу) =
х) Речь идет соответственно о диэлектрической постоянной при фиксированных (нулевых) деформациях и диэлектрической постоянной при фиксиро ванных (нулевых) напряжениях. Приведенная в тексте терминология не являе-ся у нас общепринятой. — Прим. ред.
а = У, афу.
336
Глава 6. Свободная энергия
§ 38. Нормальные координаты решетки
Эффективная потенциальная функция Ф решетки, представлен-
содержит членов первого порядка малости; члены же второго порядка малости имеют вид
В § 15 было показано, что при рассмотрении нормальных координат мы имеем дело только с этими членами второго порядка. Для бесконечной решетки (38.1) является, вообще говоря, расходящимся выражением. Мы будем нормировать его на конечный объем, налагая следующее условие периодичности (по поводу интерпретации этого периодического граничного условия см. § 4).
Представим себе решетку, разделенную на блоки, состоящие из LxLxL = N ячеек, причем вдоль каждого ребра такого блока укладывается L ячеек решетки; границы раздела образуют, так сказать, макрорешетку с базисными векторами La1; La2, La3, причем блоки из N ячеек являются соответствующими макроячейками. Наложим условие периодичности, потребовав, чтобы картина движения оставалась одинаковой во всех макроячейках. Иными словами, потребуем, чтобы
соответствующих макроячейках, т. е. если числа (Z1, /2,/3) отличаются от (Z1, I2,13) соответственно на целые кратные от L. Соответственно макроячейкам подразделяем суммирование по I в (38.1) на частичные суммирования; очевидно, что все эти частичные суммы равны между собой. Тогда можно сопоставить объему из N ячеек одну такую сумму, которую можно записать следующим образом :
где буква N указывает, что суммирование по I производится по N ячейкам, или
ная в виде ряда Тэйлора по степеням ядерных смещенийи j, не
(38.1)
(38.2)
(38.3)
I1,I2,13 = 0, 1, 2, . . . , L — 1 (производящий объем) . (38.4)
