Динамическая теория кристаллических решеток - Борн М.
Скачать (прямая ссылка):
| Наблюденные расстояния 2,57 2,81 3.14 3.29 :про-
| Сумма радиусов........ 2,55 2,90 3.28 3.43 ются
[ Наблюденные расстояния 2.75 2,98 3.29 3.43 смот-
/ Сумма радиусов ........ 2.76 3,11 3,49 3,64 \ ме-
( Наблюденные расстояния 3,02 3,23 3,53 3,66 знер-
¦Эти значения не согласуются с теорет нческим л данныл ш,прив
ными в табл. 5. Это показывает, 1ТО, хотя резулы гаты Ие чсена во
изводят правило аддитивности, абсолют ные зн ачения не явля
точными (черта, обычная для пр <ближен ных тес ретичес ких рас
рений). Сам Иенсен рассматрива л прави ло адди тивност и другил
тодом [20]; проведенный здесь анализ лучше согласу ется с
гетическими расчетами.
§ 3. Эвристические выражения для энергий решеток
Главные взаимодействия в ионных решетках и решетках Ван дер Ваальса, а именно статическое кулоновское взаимодействие, взаимодействие Ван дер Ваальса и сила перекрытия, в основном являются силами, действующими между двумя телами. Если две частицы решетки обладают сферической симметрией, то их энергия взаимодействия является функцией ц.(г) расстояния между ними (центральная сила). Это справедливо для простых ионов, имеющих структуру инертных газов, и, вероятно, для радикалов, имеющих вращательные степени свободы (квантовомеханическое «нулевое» движение)
§ 3. Эвристические выражения для энергий решеток
33
Понятие аддитивных парных взаимодействий является, разумеется, приближенным ; как мы уже упоминали, квантовомеханические вычисления Левдина действительно указывают на то, что заметная часть энергии сцепления решетки не может быть выражена в терминах парных взаимодействий. Кроме того, в ионных кристаллах ион может быть поляризован результирующим электрическим полем, создаваемым другими ионами решетки. Влияние таких поляризаций на энергию решетки по своему характеру отличается от влияния парных взаимодействий. Рассмотрим случай трех частиц 1,2,3; энергия взаимодействия между частицами 1 и 2 непосредственно зависит от поляризаций, индуцированных частицей 3 в первых двух частицах. Однако во многих простых решетках эффекты поляризации в большой степени «подавляются» высокой симметрией структуры, хотя электрическое поле никогда не обращается в нуль во всем объеме иона ; если ион достаточно симметрично расположен в решетке, то электрическое поле обращается в нуль в центре иона, и потому эффект поляризации мал [21 ]. Заметная поляризация возникает лишь при такой деформации решетки, когда разрушается ее симметрия; в дальнейшем мы обсудил! явления такого характера.
Потенциал взаимодействия <р(г) (предполагая его центральным) является суммой слагаемых, описывающих притяжение (энергии Маделунга и Ван дер Ваальса), и слагаемого, описывающего отталкивание (перекрытие волновых функций). Для последнего, как мы видели, теоретическое рассмотрение не дает простого выражения. В тех случаях, когда невозможно произвести теоретический расчет силы перекрытия, обычно прибегают к некоторым простым представлениям этой силы, предназначенным для эвристических целей. Исторически1) такие представления действительно предшествовали детальному теоретическому рассмотрению, подобному описанному в § 1. Это неудивительно, так как существование твердого состояния само по себе свидетельствует о наличии некоторых сил притяжения. С другой стороны, ясно, что должны действовать некоторые механизмы, ставящие предел упаковке атомов. В самых ранних попытках описания сил взаимодействия атомы изображались в виде твердых сфер, взаимно притягивающихся с силой, обратно пропорциональной некоторой степени расстояния. Это представление об атомах, однако, несовместимо с тем фактом, что все твердые тела более или менее сжимаемы. Таким образом, оно полезно лишь для грубого рассмотрения поведения газов и геометрических конфигураций атомов в молекулах и твердых телах.
*) Первые работы в этой области принадлежат Ми [22], Грюнайзену [23, 24], Борну и Ланде [25], Борну [26]. Изложение развития вопроса дано в т. V «Энциклопедии математики» в статье Борна <Atomtt.eorie des festen Zustandes', которая вышла также в виде отдельной книги [27].
3 Макс Борн и Хуан Кунь
34
Глава 1. Атомные силы
В качестве более приемлемых форм представления энергии перекрытия часто используются следующие два выражения :
-?г. (3-lfl)
(3.16)
Константы, входящие в эти выражения, должны быть определены с помощью эмпирических данных. Результаты квантовомеханических расчетов говорят в пользу экспоненциальной зависимости, тогда как обратная степенная зависимость обладает преимуществом большей простоты.
На основе выражения (3.1а) Леннард-Джонс изучал атомные силы, проводя широкие исследования поведения газов1). Воображаемый газ, состоящий из невзаимодействующих молекул, подчиняется уравнению состояния идеального газа :
