Лекции по атомной механике Том 1 - Борн М.
Скачать (прямая ссылка):
v=v0 ± vm.
212
§ 35. Эффект Штарка в водородном атоме
Как первый пример влияний внешних полей, рассмотрим эффект Штарка в атоме
водорода, т. е. воздействие однородного электрического поля г на движение
в атоме водорода (обобщая: на движение атома с одним электроном). Эту
задачу мы исследуем здесь по возможности подробнее, что поможет нам
обсудить различные методы исследования. Первым из наших методов, которые
мы будем применять, является введение разделяемых переменных1. Затем мы
займемся вычислением вековых возмущений. Само собой разумеется, что во
всех случаях результаты должны получиться одинаковыми.
Возьмем прямоугольную координатную систему, ось которой совпадает с
направлением поля; тогда функция энергии будет иметь вид
(1) Н^(х'+у'+^-^-+еЕг
Е= |@|.
Легко видеть, что дифёренциальное уравнение Гамильтон а-Я к о б и не
разделяется ни в прямоугольных координатах, ни в полярных. Но разделение
это можно произвести, вводя новые параболические координаты. Так,
полагаем
л:=Siscos <р
(2) v=&T)Sin<p
г=4(р"'ч')-
Если поверхность S=const и n)=const, то ось параболоида вращения будет
осью z, а кривые пересечения поверхностей с плоскостью \х, z) буду$
^=2г'(т-г)
т. е. параболами с фокусами в начальной точке и параметрами S2 и т")2; !р
являе^тя азимутом относительно направления поля. Кинетическая энергия в
новых координатах запишется
(3) Т=\ [¦гё*+ч1).(б*+ч?)+Рч* V1]-
,1 Впервые он был применен P. S. Е р s t е i . 'Ann. d. Physik, Bd. 50,
S, 489,1916; Bd. 58, S. 553,1916, иК. Schwarzschild, Sitzungsber. d.
Berl. Akad, 1916, S. 547.
Отсюда получаем сопряженные координатам 5, dj, tp импульсы
(4) ре ==wS(Ss+42);/?r, =//ni(&2+?i2); р? =т^у\\
Вводя их в Т и прибавляя потенциальную энергию 4e2Z 1
мы получаем:
^ H=2m (?2+V) ) Р*+
+теЕ (5* - -ц*) - 4me2zJ.
Полагая это выражение равным W и перемножая уравнение на 2т (?*+*]*), мы
видим, что оно разделяется. Прежде всего имеем:
dS
Р<р =^-=const и Jpf =x^rffp=2n|/?? |.
Ввиду того, что p<?d<t никогда не может быть отрицательным, то всегда ;>
0. Далее находим
Рь =^=/7Г(ЁГ Рч ^Щ=у/Г ^
причем
(6) fl(i)=2mW+2ai-±j?---meEt' и
f, (ч) =2т W^+2а2 - ^ ~t+meErf
(7) a.t+aa = 2me2Z.
Отсюда следует, что интегралы действия Л и J4 равны:
(8) Л = $ j/_A+2^i -+
A=fp4dV=fp/r _Л+2|?-~\-Drf-qd-q
214
где
А = 2т{- W)
В1-а1, В2 = а2 |2
г-11, D. = - теЕ, D.=meE.
4я*
Для того, чтобы интегралы (8) оставались реальными и в случае
исчезновения поля, at и а2 должны быть положительными. Если напряжение
поля незначительное, то члены, содержащие Di и Ц,, малы относительно всех
остальных, и интегралы можно вычислить приближенно, комплексным путем.
Мы получаем (срав. (11), приложение И), рассматривая корни
(8) так, чтобы интегралы были положительными
(9)
Л-±Г_/ , 21М, , ътеЕ (У , За,2 \]
2 [ т V- 2mW2/ - 2mW*w2 2mWjy . _1 Г . 2то*а ittneE (J9 2 . 3a|
\1
J'-2[ ,/*+/=етг 2/^2WlW2+2/n^J-
Из трех уравнений (7) и (9) исключаем аг и аг и вычисляем W. В уравнениях
(9) в первом приближении можно опустить член, пропорциональный Е, после
чего в этот поправочный член подставить вычисленные в первом приближений
значения аг и аа. Тогда имеем:
а, 23\ +/" , теЕ " ,
/-2mW~ 2л 8ti2/ - 2mW3 ^+^ J<t +
о-г_____2/0 +Л________теЕ /с ,а , с л г fi\
V - 2т W~~ tv 8TiV-2mW3 Л+Л)
и с помощью (7) находим:
1
2 me2Z=- (J, +Л'+Л) V ~ 2 т W + ^ (Л +Л+Л) ).
Отсюда в первом приближении (отбрасывая член,пропорциональный Е) находим
энергию движения при отсутствии поля
(10) If-
(Л +-А)+У(р)2
и, если это значение W подставить в поправочный член, как второе
приближение, то получим:
2v?meiZl 3Е !Г , , , ,
(П) W-----------%т:2те Z +Л+ЛХЛ Л)-
215
Таким образом в нашем приближении энергия зависит только от двух линейных
комбинаций переменных действия, т. е. мы имеем случай простого
вырождения. Если учесть высшие члены энергии, оно исчезает. Введем
соответственно нашему общему методу исследования (§ 15) вместо A, Л,, Ут
новые переменные действия, получающиеся из последних с помощью
целочисленного преобразования с детерминантом ±1 и выберем их так, чтобы
энергия (11) зависела только от двух новых переменных действия и чтобы
энергия (10) невозмущенного движения (соответственно двойному вырождению)
зависела только от одной из переменных действия.
Таким образом, мы полагаем
А +*Л) +/р = У
(12)
УЩ ~~ -A Jс
и получаем:
(13) =me*Zl____________ ЗЕ jj
У2 8т:2 meZ е'
Движение имеет две частоты
(14) v = v0+ve-y ' и
ЗЕ
У.
е~ bvPmeZ'
Если у нас имеется два квантовых условия:
15) У=яЛ
Je=neh
и мы введем их в энергию (13), то она выразится:
RhZ2 ЗЕЛ2
(16) W~~ п? 8те2 meZnHa
где R-снова обозначает постоянную Ридберга(ср. (2) § 23)* Точное
вычисление дает высшие члены, зависящие от третьего квантового числа п'.
У? без поля имеет тоже значение, что и при кеплеровском движении; оно
может принимать только значения, заключающиеся между 0 и У. Сумма
положительных величин J% и У,, в силу (12) лежит также между 0 и У, а их
