Лекции по атомной механике Том 1 - Борн М.
Скачать (прямая ссылка):
заменена относительной механикой Поэтому исследуем в первую очередь по
Зоммерфельду1 движение электрона в кулоновском поле, возбуждающегося -Z-
кратно заряженным ядром, принимая, конечно, во внимание теорию
относительности.
В силу § 5 функция Гамильтона и в этом случае тождественна с общей
энергией. Так, мы имеем:
<2>
V
где - = р. По (10) § 5 компоненты импульса будут:
я - т°х п - тя - те°г
V /1- Р* /1-р2 /1-р2'
Возводя в квадраты и складывая, имеем:
px+pl+pl = -^1^Л = то2с2 - 1 J
и
Т=р=|/1+
V1-У т0'с*
Следовательно, в силу (2)
(4) 1У", + _J_ (pl+pl+pl) - 1 ]-^=г. Вычисляя отсюда сумму квадратов
импульсов, находим
(5) ^ + Т + 2^ ( **?) •
1 A Sommerfeld, Ann. d. Physik, Bd. 51, S, 1, 1916.
203
Это уравнение кеплеровского движения отличается от уравнения для случая
неотносительной механики только на дополнительный член
2 от.
Ввиду того, что он зависит только от одного г, то здесь возможно
разделение переменных в полярных координатах. Но здесь мы еще имеем к
тому же простое вырождение. Вводя обозначения, соответствующие
центральному движению § 21, мы можем написать:
/i = Jr-\-J<f-\-Jb-tih
У2 - -
Интегралы действия J9 и Л здесъ такие же, как и прежде, в частности опять
/<р + /&=2лр
2п-кратная импульса вращецдя.
Jr получает такую же форму (2) § 22, как и прежде
Л=<П/ -А+--
-i/
где А, В и С имеют несколько другие значения:
W2 Г / W
A = 2m0(-W)----^=OT0V4l-/l +
Щсг
D г7, We*Z . W \
В=т0 ег Z-{- ---mSZ\l + 2-J
r e'Z*_kW( a*Z*\
Р с* 4"2 \ к* )'
Вычисление интеграла дает (ср. (5) приложение II) Jr= {п-k)h = 2n (-/С +
Следовательно
ЦнЛ]
(п- k)h=-kh i^/* i а!^2 -f. - m°
204
Решая уравнения относительно 1 -J------находим:
(6)
{п - ? + )/> -
1
a 2Za
откуда получаем строгое выражение энергии. Относительно пути нам
известно, что он, как и вообще в случае периодического центрального
движения, представляет розетку.
Мы будем рассматривать тот случай, когда а очень мало; поэтому можно в
ряде а ограничиться первым членом. Так мы получим:
Выразим с помощью (1) а и введем посредством (2) § 23 рид-берговскую
постоянную R (2) § 29; тогда будем иметь:
Прежде, чем 'делать анализ этого уравнения, выведем его еще раз с помощью
теории вековых возмущений. Будем исходить при этом из функции Гамильтона
в выражении (4). Второй член, находящийся под корнем,имеет величину
порядка р"; если развернуть по этой величине в ряд, то получим:
мы видим, что Н0 является гамильтоновской функцией неотносительного
кеплеровского движения, которое мы рассматриваем, как невозбужденное
движение, и //, выступает как функция возмущения. Для того, чтобы
получить влияние этого возмущения на кеплеровское движение, усредним Нг
по невозмущенному движению. Если в //, выразить сумму квадратов импульсов
с помощью уравнения для W0, то мы найдем
Полагая
^W20+2e2ZW0-^+eiZ3
205
Этот дополнительный член энергии соответствует дополнительному члену (5),
но здесь в нашем приближении W заменено-
через W0. Для средних значений - и \ в кеплеровском движении мы получили
раньше (19) и (20) § 22:
Х = - 1= -
г ~~ а ' г2 аЪ'
так что
w ,=------ - Г w20+ 2eiZ W"+ е*~ ¦ -1
1 2 тйс*\(tm)0+ а a2 b J'
Принимая во внимание, что
e2Z_ ш а________п
2 а °' b k'
получаем выражение дополнительной относительной энергии;
*--вЬ>*(4т-8)
или, если вновь ввести а и R (8)
что вполне соответствует (7).
"Относительная поправка энергии" (8) тем больше, чем меньше главное
квантовое число; следовательно, она максимальна для li-пути. При равных п
она тем больше, чем более эксцентрична траектория. Частота движения
перигелия выразится
_dW dWt _RZ2 a2Z* a*Z2
V2_ dJ2~ h dk n6 ' № v 2k*~'
где v4 - частота движущегося по эллипсу электрона.
Термы спектра (8) (Н, Не+, LI++) образуют не просто
систематизированный ряд, что имеет место в случае
неотносительных
вычислений, а представляет двояко систематизированную последовательность.
Ввиду того, что влияние k ,Ha величину терма мало по сравнению с влиянием
п, то изменение, обусловленное релятивным вычислением, можно понимать,
как некоторое расщепление нерелятивных термов.
Термная схема (при очень большом увеличении релятивного расщепления
)имеет следующий вид (рис. 20 на 207 стр.).
Если удалить внешние возмущения, то по принципу соответственности (§ 17)
комбинируются из этих термов только те, для которых второстепенные
квантовые числа k отличаются на ± 1.
206
Серия линий, для которых предельный терм равен я = 1 (для Н серия
Лимана), состоит из простых линий; серия линий, для которых предельный
терм равен п-2 (для Н серия Б ал ь м ер а) состоит из триплета. Линии
остальных серий носят еще более запутанный сложный характер. В качестве
степени относительного расщепления принято по Зоммерфельду считать
расщепление предельного терма {п-2) бальмеровской серии водорода. По
теории оно составляет
Ro?
=^-=0,365 см-1, lb
Расщепление соответственного терма для любого Z равно
Z4AvH
-I __________ II III IB
2 3 ?
7 2 723&Л
Рис. 20.
