Лекции по атомной механике Том 1 - Борн М.
Скачать (прямая ссылка):
вопроса, брать ли k целым числом или нет.
§ 28. Проникающие траектории
Большое значение ридберговских поправок мы в §26 объяснили тем, что
оптический электрон проникает глубоко в остов и, следовательно, попадает
в область высокого воздействия ядра.
Опыт Шредингера 1 дает оценку порядкам величин 8, которые нужно бы было
ожидать для таких проникающих путей. Он
1 Е. Schrodlnger, Zeitschr. f. Physlk, Bd. 4, S. 347, 1921.
171
мысленно представляет остов равномерно отрицательно, зяря? женной
оболочкой сферы, вне которой господствует кулонов-ское поле,
соответствующее ядерному заряду Z<а) (1 в нейтральном, 2 при просто
ионизированном атоме); внутри, ее возникает также кулоновское поле, но с
большим ядерным зарядом ZW. в тех местах, где перигелиево расстояние
вычисленного в силовом поле с ядерным зарядом ZW эллипса квантового пути
меньше радиуса сферической оболочки, путь проникает в середину; тогда т
раектория состоит из двух эллипсных дуг, смыкающихся плавно и непрерывно
(рис. 14).
При заданных квантовых числах п и k, зарядах оболочки и ядра в радиусе
оболочки можно вычислить эффективное квантовое число л* или поправку 8.
Мы не будем приводить здесь вычислений Шредингера, а только покажем, что
для такой модели атома, состоящей, даже из множества концентрически
заряженных оболочек, связь квантовых чисел и энергии выражается
элементарными функциями *.
Пусть радиусы оболочек pt р2,....будут расположены по убывающим величинам
их зарядов-z1e, - z2e,....'
Потенциальная энергия промежуточного пространства между оболочкой ps и
Pi+i* будет
Ut(r) = -Zsey+c,
где
Z0=Z"*>
ZS = Z<">+ Za
5=1
и cs определяется из условия, что потенциал на оболочках изменяется
непрерывно. Из этого следует
t>=i р(r)
Вследствие того, что мы сейчас уже знаем потенциальную энергию, как
функцию г, мы можем вычислить перигелий r"in и установить, внутри каких
оболочек pj, р2• • • рр он находится. Радиальный интеграл действия в силу
(4) § 21 имеет тогда форму
лшах
л_2/ У-А.+2
1 Ср. также G. Wentzel, Zeltschr. f. Physlk, Bd. 19, S. 53, 1&23 или cip.
55.
172
+2 j ^/Г-А1+2^-------p dr+
P* .
+2j/ -A2+2^-?dr+...
Pa
+ f /-A,+&-Pr,
где 'mln
As=- 2m (W- ct)
Ba = me"1 Zs
r-k2fl2 4 тс2 '
Все интегралы можно выразить через элементарные функции; так мы получим
Jr и, следовательно, п-k, как функцию W и k, наконец, W как функцию п и
к.
Представление Шредингера о заряженной оболочке мы ис-пользовываем по Ван-
Урк'у*1 для оценки значений 8 проникающих путей.
Первым долгом отметим, что при заданном внешнем эллипсе радиальный
интеграл действия тем больше, чем больше радиус имеет сферическая
оболочка, так так тем больший промежуток времени электрон находится под
полным воздействием ядер-ного заряда. Итак, в шредингеровской модели
получается нижний предел для значения 8 при условии, если допустить, что
траетория вообще является проникающей, и выбрать радиус оболочки так,
чтобы она касалась внешнего эллипса.
Найдем значение, к которому стремится S для больших п (за висимость от п
в шредингеровской модели очень незначительна) для чего примем за
перигелий внешнего эллипса приближенно перигелий параболы, где путь s мы
будем писать как
2 Z^TaH или В б°лее общем виде ап.
В виду того, что радиус оболочки мы выбираем такой же величины, общий
путь оптического электрона в большем приближении можно представить, как
два совершенных эллипса. Для радиального интеграла действия получается
/г=/м+ЛЧ
1 A Th. van Urk, Zeitschr. f. Physik, Bd 13, S. 268, 1923.
173
Теперь спектроскопический терм представляет работу отрыва внешнего
электрона, поэтому он равен энергии внешнего эллипса
W=-
(Л°ЧЛ)2'
где Уф представляет общий импульс вращения для обоих эллипсов, умноженный
на 2п. Сравним его с энергией в форме
w^ Rh Z(a)2
п
*2
Тогда для эффективного квантового числа вытекает
"*=1(у/">+уф )=|(уг-у;'-'+уф).
И теперь уже
Уг-гУф = tih,
следовательно,
h \ h )'
где У" представляет сумму интегралов действия внутреннего эллипса. У(r)
выражается большою . полуосью а внутреннего эллипса: *
а а в свою очередь связано с радиусом оболочки:
а (1 -i-?) = ^aj ян,
где
V JV-
Исключая из этих трех уравнений е и а, мы получаем (№ X71 , / '....Т*Г"
\ .
усо
после чего, решая относительно и подставляя в (1), имеем:
Уравнение (1) сохраняется приближенно и тогда, когда внешний эллипс не
касается оболочки. Необходимо только, чтобы радиус оболочки был мал по
сравнению с большой осью внешнего эллипса (что всегда имеет место при
большом главном квантовом числе) и Z^n было значительно больше Z<a>. В
этом случае ошибка, которую мы делаем, заменяя интеграл действия по
внешней части пути интегралом по всему внешнему эллипсу,, получается
незначительной; то же в отношении замены внутренней части полным
внутренним эллипсом. Афелий внутреннего эллипса лежит незначительной
частью вне оболочки (благодаря быстрому уменьшению потенциальной энергии
в поле с ядер-ным зарядом Сумма 7W интегралов действия внутреннего
