Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Борн М. -> "Лекции по атомной механике Том 1" -> 36

Лекции по атомной механике Том 1 - Борн М.

Борн М. Лекции по атомной механике Том 1 — ДНТВУ, 1934. — 315 c.
Скачать (прямая ссылка): lexiipoatomnoyfizike1934.pdf
Предыдущая << 1 .. 30 31 32 33 34 35 < 36 > 37 38 39 40 41 42 .. 100 >> Следующая

систему. Мы рассмотрим сейчас особенно простой случай, когда функция
энергии содержит параметр \ при значении которого 1 - 0 она вырождается.
Представим себе функцию энергии Н, развернутую по степеням тогда для
достаточно малых I можно ограничиться двумя членами разложения
(1) Я=Я0+ХЯ1.
Следовательно, в этом приближении факт возмущения "невозмущенной"
системы, обозначенной через Н0, отмечается как бы, аддитивным
прибавлением некоторой возмущающей функции X/fj.
Вопрос о том, какое влияние оказывает возмущающая функция на движение,
если Н0 не вырождается, будет нами исследован ниже. Здесь же мы
рассмотрим только случай вырождения Н0. Представим себе, что проблема
невозмущенной системы решена и посредством канонической подстановки
введены угловая переменная и переменная действия w°k У*. Благодаря
вырождению, Н0 будет зависеть только от своих собственных переменных
действия Л (а=1, 2•••s) и будет функцией всех wl и Л; следовательно:
(2) Я=Я0 (Л°) + Ш, (Л°, wl).
К приближенному решению япроблемы возмущения" ми придем посредством
следующего наглядного рассуждения, которое математически будет нами
обосновано ниже в общей связи с другими явлениями.
При возмущенном движении все постоянны; изменяются во времени. Влияние
некоторого незначительного возмущения будет сказываться в том, что w°
будут также изменяться во времени, но таким образом, что их скорость
изменения будет мала, т. е. одновременно с X стремиться к нулю.
Вследствие того, что координаты <7* Pk представляют периодические функции
всех wl с периодом 1,--система, за время изменения w
110
на какую-либо величину, проделает относительно большое число периодов
(вращение или либрация).
Связь между движениями wa и wf выражается при усреднении функции энергии
по невозбужденному движению w°, а именно:
(3) 77= Я0 (Л)+1М: (Л°,
В этом выражени У" выступают только как параметры. Единственные
переменные-это w° У°. Соответствующие им канонические уравнения
следующие: _
•о . dHl
ш°= 1 д4
(4)
дН,
В квантовой теории рассматриваются решения, имеющие только
многопериодический Характер.
Предположим поэтому, что существует функция действия вида
(5) 5=
1
где F- периодическая функция w° с простым периодом. Канонические
преобразования с производящей функцией S:
О /0 г
Ja = Ja
/л\ о I df* w0 / . dF
(6) We=Wf+.-^j- Уp = Ур--
Функцию приводим к функции одних Уд.
(7) Нх {Л;
Часть S, зависящая от w°f, Ур,
2 wl Л.
а 1
удовлетворяет диференциальному уравнению Гамильтона-Якоби в частных
производных
(8) 771(Л;да"1-|^-|=Г1.
Таким образом, движения, выраженные при помощи переменных w°p У",
определяются из усредненной функции возмущения
ill
подобно первоначальным координатам системы из общей функции энергии.
Решение в нашем приближении имеет форму
Л = const =
Ур= const .wp = vpt+if,
где имеют значения
VJи dJa
vP = 1^.
dJ?
Итак, скорость изменения vp действительно мала по сравнению со скоростью
va и для Х=0 она исчезает.
Для таких медленных движений в небесной механике введено название
"вековых возмущений".
В (6) легко заметить, что первоначальные координаты системы q и р также
являются периодическими функциями новых угловых переменных.
В движениях, выраженных уравнением (8), мы будем отличать следующие
случаи: либрация, вращение или движение в пределе ограничения.
Практически проблема решается только при условии разделения переменных w\
в диференциальном уравнении (8) или при условии отыскания ноеых
разделимых переменных. Это, напр, имеет место, если все переменные - о>",
или все, кроме одной, циклические. Простейший случай этого наступает при
существо-, вании, вообще говоря, одной переменной wp, т. е. если
невозбужденная система просто выражена.
Далее, может случиться, что проблема, описываемая с помощью Н,
относительно известных w9 является вырожденной,- тогда эти wp во время
движения остаются постоянными. Конечно, если прибавить следующую функцию
возмущения, то эти wp могут изменяться.
Нахождение среднего значения функции возмущения Н часто производится с
помощью первоначальных переменных q,p (усреднение по проистеканию во
времени) подобно тому, как это' делается посредством угловых переменных.
Постоянные траектории невозмущенного' движения, входящие в среднее
значение Нх, выражаются затем через вырожденные угловые переменные w°p и
через переменные действия J°. Для системы, подверженной воздействию
только внутренних сил, азимут произвольной прямой в пространстве и
плоскости, проведенной черезэту прямую и ось общего импульса, в этом
случае будет вырожденный. Если на эту систему действует слабое однородное
поле по направлению этой прямой, то усредненное значение
112
функции возмущения 1Нг не зависит от такого азимута. Если теперь нет
никакой другой вырожденной переменной невозмущённой системы, изменяющейся
благодаря функции векового возмущения, как например, для атома водорода в
электрическом поле (срав. § 37), то остается единственное вызванное
Предыдущая << 1 .. 30 31 32 33 34 35 < 36 > 37 38 39 40 41 42 .. 100 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed