Лекции по атомной механике Том 1 - Борн М.
Скачать (прямая ссылка):
циклическая переменная и сопряженный ей импульс по § 6 по существу есть
компонент импульса вращения системы, совпадающий с нашим направлением в
пространстве.
Благодаря постоянству. функция S, сводящая qk и их импульсы рк к угловым
переменным и переменным действия, имеет форму
с 1
2тс F(JltJ2 • • • Jf) *Р "Ь q2 • ¦ • • • • Jf),
из чего следует
1 dF . OS W'~ 2it dJ^+ д7г
1 OF . ., d5
w* 2 it dJ2 ^ + dJ2
1 d F dS
Считая q1q2...qt-i постоянными и увеличивая tp на 2я(т.е система
поворачивается на 2it), мы видим, что wk должны изменяться на целые числа
(так как qk периодические относительно wk с периодом 1); при этом
производные от F-целые числа и сама F имеет форму
F=z1Jl-\- ... .+т
С помощью соответственного преобразования с детерминантом ± 1 функцию F
можна всегда привести к виду
F-J<t + с,
так что
5= У? if -)- 2^ с . + S (<7i ... <7/-и • • 'Jf-ii У(r) )>
из чего следует
тк = Ф}.^1... qf-i, У,.., У/-1,У<р) (Л=1 • ¦ 1)
(5) ?+Ф/ (?, • • • q/-i, Л • •. У/-1. Л) •
z It
Решая относительно <7*
qk-^i ь • • • Jf-u J<f) (ft=i..l)
(6) 4~qf-2It wf+Wf {wl... У,... У/_ь y?)
105
можно также написать
(7)
Соответственно импульс вращения в направлении нашей установленной
пространственной оси будет
Если нет никакой вырожденности, можно положить
В каждой системе, потенциальная энергия которой инвариантна по отношению
вращения вокруг заданной какой-либо оси в пространстве, 2к-кратная
компонента импульса вращения вокруг оси представляет переменную действия.
В случае, если энергия вообще зависит от нее, эта величина должна
квантоваться.
Так как функции Ф* (5) зависят только от взаимных относительных положений
точек системы и от размещения их по отношению оси вращения, то значит
бпределяют
эти относительные положения в то время, как определяет абсолютное
положение системы.
По (6) 2izwf можно рассматривать, как усредненное значение азимута <р
(какой-либо избранной точки системы) по движениям "относительных" угловых
переменных w{,.. .o"/_i.
Следовательно, движение можно рассматривать, как многопериодическое
относительное движение, перекрывающееся равномерной прецессией вокруг
установленной нами пространственной оси. Если Н представить функцией Л и
не зависящей от Уф , то 'эта прецессия равна нулю; тогда наступает
вырождение.
Рассмотрим сперва случай, когда механическая система предоставлена своим
внутренним силам. Тогда можно рассматривать каждую неизменную,
фиксированную в пространстве прямую, как ось циклического азимута.
Энергия не зависит от компонентов импульсов вращения в отдельности, а
только от суммы их квадратов, т. е. от значения импульсов.
Принимая направление импульса за ось, мы видим, что соответствующий ему
азимут ф циклический, и ш не вырождается.
Таким образом общий импульс р устанавливается с помощью к вантового
условия в форме
Если рассмотреть в пространстве еще одну дополнительную ось, то вокруг
нее также существует циклический азимут <р,
У? = mh.
<8)
2яр=Уф =jh.
106
но соответствующая переменная действия J9=2np<f не входит в функцию
энергии рядом с Уф , так как энергия системы не может зависеть от
компонента импульса в произвольном направлении. Таким образом угловая
переменная сопряжения У,, вырождается, и У? не должно квантоваться.
Значение w9 (что считается действительным, вообще говоря, для любой
циклической угловой переменной) представляет усредненное по движениям
значение азимута какой-либо точки системы относительно OCU'Wy является
постоянным углом, который можно выбрать так, чтобы он равнялся азимуту
оси общего импульса относительно плоскости, проведенной через
установленную нами в пространстве ось ср.
Рассмотрим теперь случай, когда механическая система подвержена действию
однородного внешнего (электрического или магнитного) поля.
Тогда азимут <р точки системы относительно оси, параллельной полю,
является циклической переменной. В общем случае' Н будет также зависет от
У? и будет иметь силу квантовое условие
(9) 2тс= У,, = mh.
При наличии произвольного внешнего поля общий импульс вращения не будет,
вообще говоря, интегралом уравнений движения и, следовательно, не может
квантоваться. В частных случаях может оказаться, что импульс вращения и
угловая переменная будут постоянные - тогда сохраняются одновременно два
условия (8) и (9).
Если, далее,р? представляет проекцию/" на направление поля, и а
обозначает угол между импульсом вращения и направлением поля, то
справедливо
10) cos а = -9 = -¦ .
Р Л J
Следовательно, этот угол не только постоянный (регулярная прецессия
импульса вращения вокруг направления поля), но также ограничивается
дискретными значениями с помощью квантовых условий. В этом случае говорят
о "квантовании по направлению".
Так как на основании (10) т может принимать только значения -у, -у Ч-
1,____у, то при каждом j существует в общем 2у+1
возможных ориентаций импульса. Он описывает, при постоянном угле а
угловой конус вокруг направления поля, делая это с прецессионной
