Основы квантовой механики - Борисов А.В.
Скачать (прямая ссылка):
Отсюда находим
{С
W) '
и уравнение для определения состояния, минимизирующего произведение
неопределенностей, принимает вид:
28
Рассмотрим случай координаты и импульса:
?=?-х0, 3= -р0, ё = П.
В координатном представлении ?=х, fix=-ihd/dx, и получаем уравнение:
СН "координата-импульс" выражает отсутствие точной траектории у частицы.
В частности, нельзя определить импульс в данной точке пространства (как в
классической механике): импульс характеризует состояние квантовой частицы
в целом. Он может быть измерен, например, путем анализа дифракционной
картины, образуемой при прохождении пучка частиц через периодическую
структуру, с помощью дебройлевского соотношения между длиной волны и
импульсом: Л = 27th / р.
4.2. Постулаты квантовой механики
Мы ввели основные понятия квантовой механики и можем теперь явно
сформулировать, следуя Дж. фон Нейману (J. von Neumann), ее основные
постулаты:
П1. Состояния системы описываются ненулевыми векторами у/
комплексного сепарабельного гильбертова пространства Н , причем векторы
у/ и у/' описывают одно и то же состояние тогда и только
тогда, когда у/' = су/, где с- произвольное комплексное число.
Каждой наблюдаемой А однозначно сопоставляется линейный эрмитов
оператор М.
П2. Наблюдаемые одновременно измеримы тогда и только тогда, когда
соответствующие им эрмитовы операторы коммутируют.
Здесь с2 = ((Ах)2), Xq = (х), р0 =(рх).
Нормированное решение имеет вид:
у/(х) = {ijrcr2 Уш ехр - '
В этом состоянии
29
В результате измерения наблюдаемой, представляемой оператором Я, может
быть получено лишь одно из собственных значений Я оператора Я.
Вероятность wn получить значение Яп при измерении в состоянии у/ равна
где сп- коэффициент в разложении у/ по полной системе собственных функций
у/п оператора Я:
Y = YjcnVn, сп=(у/п,у/).
п
ПЗ. Эволюция системы определяется уравнением Шрёдингера
dt
где гамильтониан.
П4. Каждому вектору у/ ф 0 из пространства Н отвечает
некоторое состояние системы, любой эрмитов оператор Я соответствует
некоторой наблюдаемой.
Рассмотренный в п. 3 принцип суперпозиции, как легко проверить, следует
из постулата П4.
Замечание 1. Выбор пространства Н и закона соответствия А -> Я для
конкретной физической системы определяется согласием предсказаний теории
с результатами эксперимента. Этот выбор не может быть формализован: можно
построить бесконечно много квантовых теорий, которые в пределе Й -" О
переходят в одну и ту же классическую теорию.
Замечание 2. Существуют правила суперотбора, согласно которым
пространство состояний Н разбивается в прямую сумму ортогональных
подпространств, причем сумма векторов из разных подпространств не может
соответствовать физически реализуемому состоянию. Например, запрещена
суперпозиция состояний с различными электрическими зарядами.
5. ИЗМЕНЕНИЕ НАБЛЮДАЕМЫХ СО ВРЕМЕНЕМ
5.1. Эволюция средних значений наблюдаемых
Пусть у/ - произвольное состояние, эволюционирующее во времени согласно
уравнению Шрёдингера 30
ih
дуf dt
- Йу/.
Получим уравнение для изменения среднего значения наблюдаемой (А) =
(у/,Яу/) в этом состоянии. Имеем
d(A) g W ai ) Л
-7-^ = + w,----w +
dt I dt
,Яу/\ dt , ih '
+
}-{ц/, Яfiy/)
ih
+
dt ^ дЯ
?'Ji?
+
v v
дЯ i
-------1-----
dt h
й,Я
\
?
J )
Здесь учтена эрмитовость Й: {йу/,Яу/)= ,ЙЯу/\ Итак,
d(A) _1дЯ+ i dt \dt h
Й,Я
Это уравнение - квантовый аналог классического уравнения для динамической
переменной A[q,p,t):
dt dt * где введена скобка Пуассона
(тт л srf дН дА дН дА N
{я,4=2, ---
* VdPk д<1к д<1к дР Таким образом, при переходе к квантовой теории
{Н,А}^>Ц#,М h
Заметим, что алгебраические свойства скобки Пуассона совпадают со
свойствами коммутатора наблюдаемых.
Определим оператор производной по времени:
дЯ
к /
Тогда
я
dt h
Пусть наблюдаемая Я явно не зависит от времени и коммутирует с
гамильтонианом:
дЯ
dt
= 0 и [Й,Я] = 0.
31
Тогда в любом состоянии у/ среднее значение наблюдаемой (^4) = const. В
этом случае Я называется интегралом квантовых уравнений движения.
5.2. Стационарные состояния
Рассмотрим важный частный случай независящего от времени гамильтониана:
^ = 0.
dt
В этом случае существуют специальные решения уравнения Шрёдингера,
которые легко получаются методом разделения переменных:
W е = ехр
--Et П
<Ре>
где (рЕ не зависят от времени и являются (как и у/Е) собственными
векторами гамильтониана:
Й(рЕ = Е<рЕ.
Собственные значения Е являются допустимыми значениями энергии системы,
так как гамильтониан - оператор энергии, соответствующий классической
функции Гамильтона.
Состояния у/Е называются стационарными состояниями. Их основные свойства
таковы:
1) плотность вероятности и поток вероятности в этих состояниях не
зависят от времени:
^ = 0, (r)=0.
dt dt
2) Средние значения наблюдаемых не зависят от времени:
(Л) = (щЕ,ЯщЕ)={(рЕ,Я(рЕ)= const при |р0-
3) Вероятность обнаружить собственное значение Л наблюдаемой Я не
зависит от времени:
(tm)(л) = \(Гл>ГеТ = const.
